XLIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Dane są liczby naturalne $a$ i $b$ . Udowodnić, że liczby naturalne $c$ i $d$
spełniające równość

$<br /> a^2+b^2+c^2 = d^2<br />$

istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy $ab$ jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie

Dane równanie przepisujemy w postaci

$<br /> (1) \qquad (a + b)^2-2ab = (d-c)(d + c).<br />$

Jeśli iloczyn $ab$ jest liczbą nieparzystą, to liczby $a$ i $b$ są obie nieparzyste. Zatem suma $a + b$ jest parzysta i jej kwadrat dzieli się przez $4$ ; lewa strona (1) dzieli się przez $2$ , ale nie przez $4$ . Natomiast prawa strona (1) jest - przy każdym wyborze liczb $c$ , $d$ - albo liczbą nieparzystą, albo liczbą podzielną przez $4$ . Nie istnieją więc (w tym przypadku) liczby $c$ , $d$ spełniające równość (1).

Jeśli zaś $ab$ jest liczbą parzystą, to lewa strona (1) daje przy dzieleniu przez $4$ resztę $0$ lub $1$ , w zależności od tego, czy obie, czy tylko jedna z liczb $a$ , $b$ jest parzysta. W takim razie lewa strona (1) jest liczbą postaci $4m$ , lub $4m+1$ ( $m$ naturalne) i wystarczy przyjąć, w pierwszym przypadku $c=m - 1$ , $d = m + 1$ , a w drugim - $c = 2m$ , $d = 2m + 1$ , by spełnić równanie (1).