XLIII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Obliczyć

$ \sum_{n=1}^{1991} \frac{1}{\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}} $

Rozwiązanie

Oznaczając $n$ -ty wyraz rozważanej sumy przez $a_n$ , otrzymujemy równość

$ a_n^2 = \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}} = n-\sqrt{n^2-1} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1})^2}{2}. $

Zatem $a_n$ , jako liczba dodatnia, równa się $(\sqrt{n+1}- \sqrt{n-1})/\sqrt{2}$ . Tak więc

$ \begin{split} \sqrt{2} a_1 & = \sqrt{2} - \sqrt{0}, \\ \sqrt{2} a_2 & = \sqrt{3} - \sqrt{1}, \\ \sqrt{2} a_3 & = \sqrt{4} - \sqrt{2}, \\ \sqrt{2} a_4 & = \sqrt{5} - \sqrt{3}, \\ & \quad \vdots \\ \sqrt{2} a_{1989} & = \sqrt{1990} - \sqrt{1988}, \\ \sqrt{2} a_{1990} & = \sqrt{1991} - \sqrt{1989}, \\ \sqrt{2} a_{1991} & = \sqrt{1992} - \sqrt{1990}. \end{split} $

Dodajemy te wszystkie równości stronami, redukujemy, co się da, dzielimy stronami przez $\sqrt{2}$ i otrzymujemy wynik:

$ \sum_{n=1}^{1991} a_n = \frac{\sqrt{1992} + \sqrt{1991} -1}{\sqrt{2}}. $