XLIII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Dowieść, że jeśli $n \geq 2$ jest liczbą naturalną, to liczba

$ \sqrt{2+\sqrt[3]{3+\ldots+\sqrt[n-1]{n-1+\sqrt[n]{n}}}} $

jest niewymierna.

Rozwiązanie

Oznaczmy badaną liczbę przez $x_n$ . Jest ona pierwiastkiem wielomianu

$ (1) \qquad P_n(x) = ((\ldots((x^2-2)^3-3)^4-\ldots-(n-2))^{n-1}-(n-1))^n-n. $

Przy zmieniającym się $n$ mamy w ten sposób określony ciąg wielomianów spełniający zależność rekurencyjną

$ (2) \qquad P_n(x) = (P_{n-1}(x))^n-n; \quad P_2(x)= x^2-2. $

Z określenia (1) widać, że współczynnikami każdego z wielomianów $P_n(x)$ są liczby całkowite, a współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej $x$ równa się $1$ . Wiadomo (patrz: {\it Uwaga}), że każdy pierwiastek wymierny takiego wielomianu jest liczbą całkowitą. Ponieważ zaś $x_n > 1$ , wystarczy dowieść, że $P_n(x)$ nie ma pierwiastków całkowitych większych od $1$ .

Wykażemy w tym celu, że

$ (3) \qquad P_n(x) \geq 2 \quad \textrm{dla} \quad x \geq 2, \ n = 2,3,4,\ldots . $

Uzasadnienie stwierdzenia (3) będzie indukcyjne, oparte na wzorach (2).

Oczywiście $P_2(x) = x^2 -2 \geq 2$ dla $x \geq 2$ , więc (3) zachodzi dla $n = 2$ .

Ustalmy liczbę naturalną $n \geq 3$ i przyjmijmy, że wielomian $P_{n-1}(x)$ spełnia nierówność

$ P_{n-1}(x) \geq 2 \quad \textrm{dla} \quad x \geq 2. $

Wówczas

$ P_n(x) = (P_{n-1}(x))^2 - n \geq 2^n - n > 2 \quad \textrm{dla} \quad x \geq 2. $

To kończy indukcyjny dowód stwierdzenia (3).

Wynika z niego, że każdy z wielomianów $P_n(x)$ $(n \geq 2)$ przyjmuje w przedziale $\langle 2;\ \infty)$ wyłącznie wartości dodatnie; nie ma więc pierwiastków całkowitych większych od $1$ .

Na mocy wcześniejszych spostrzeżeń dowodzi to niewymierności rozważanych liczb $x_n$ ( $n = 2,3,4,\ldots$ ).

Uwaga: Oto uzasadnienie faktu, że każdy pierwiastek wymierny wielomianu postaci

$ P(x) = x^N + a_{N-1}x^{N-1} + \ldots +a_1x + a_0, $

gdzie $a_0,a_1, \ldots, a_{N-1}$ są liczbami całkowitymi, też jest liczbą całkowitą.

Zapiszmy pierwiastek wymierny $x_0$ wielomianu $P(x)$ w postaci ułamka nieskracalnego $x_0= r/q$ ( $q$ , $r$ całkowite, $q > 0$ ). Pomnożenie równości $P(x_0) = 0$ stronami przez $q^N$ daje

$ r^N+a_{N-1}qr^{N-1} + \ldots + a_1q^{N-1} r + a_0q^N = 0. $

Wszystkie składniki oprócz $r^N$ są liczbami całkowitymi podzielnymi przez $q$ . Wobec tego także $r^N$ musi dzielić się przez $q$ . Ułamek $r/q$ jest z założenia nieskracalny. Stąd wniosek, że $q= 1$ .