Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XLIII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

I

Funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ma tę własność, że funkcja

$<br /> g(x)=f(x)+\sin(f(x))<br />$

jest okresowa. Udowodnić, że funkcja $f$ też jest okresowa.

Rozwiązanie

Zauważmy, że $g(x)=h(f(x))$ , gdzie

$<br /> h(u) = u + \sin u.<br />$

Wykażemy, że funkcja $h$ jest ściśle rosnąca. Można oczywiście sprawdzić, że w każdym przedziale postaci $((2k- 1 )\pi; (2k + 1)\pi)$ (dla $k$ całkowitych) jej pochodna jest dodatnia i wobec tego funkcja $h$ jest rosnąca w każdym przedziale domkniętym $\langle (2k-1)\pi;(2k+1)\pi \rangle$ , więc i w całym zbiorze $\mathbb{R}$ . Można też, bardziej elementarnie, skorzystać z nierówności

$<br /> |\sin t| < t \quad \textrm{dla} \quad t > 0<br />$

i wywnioskować z niej, że jeśli $u > v$ , to

$<br /> | \sin u - \sin v| = \left|2 \cos \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2} \right|\leq 2 \left|\sin \frac{u-v}{2}\right| < u-v,<br />$

skąd

$<br /> h(u) - h(v) = u - v + \sin u - \sin v \geq u - v - |\sin u - \sin v| > 0.<br />$

Zatem istotnie $h$ jest funkcją ściśle rosnącą.

Niech $T > O$ będzie okresem funkcji $g$ :

$<br /> g(x + T) = g(x) \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />$

Równoważnie:

$<br /> h(f(x + T)) = h(f(x)) \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />$

Funkcja $h$ , jako ściśle monotoniczna, jest równowartościowa, a więc równość $h(u)= h(v)$ pociąga równość $u = v$ . Stąd wniosek, że

$<br /> f(x + T) = f(x) \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />$

To pokazuje, że liczba $T$ jest także okresem funkcji $f$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/600