XLIII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

W czworościanie $ABCD$ sumy długości przeciwległych krawędzi wynoszą $1$ . Okręgi wpisane w ściany $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ i $ABC$ mają promienie $r_A$ , $r_B$ , $r_C$ , $r_D$ . Udowodnić, że

$ r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{1}{3}\sqrt{3} $

oraz równość ma miejsce dla czworościanu foremnego.

Rozwiązanie

Skorzystamy z następującego faktu:

Jeśli trójkąt o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ jest opisany na kole o promieniu $r$ , to

$ (1) \qquad a + b + c \geq 6 \sqrt{3}r, $

przy czym równość zachodzi tylko dla trójkąta równobocznego.

(Innymi słowy: spośród wszystkich trójkątów opisanych na danym kole, najkrótszy obwód ma trójkąt foremny; patrz: Uwaga.)

Dla trójkątów $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ i $ABC$ nierówność (1) przybiera odpowiednio postać

$ (2) \qquad \begin{split} & |BC| + |CD| + |DB| > 6 \sqrt{3} r_A,\\ & |CD| + |DA| + |AC| > 6 \sqrt{3} r_B,\\ & |DA| + |AB| + |BD| > 6 \sqrt{3} r_C,\\ & |AB| + |BC| + |CA| > 6 \sqrt{3} r_D. \end{split} $

Z założenia mamy

$ (3) \qquad |AB| + |CD| = |AC| + |BD| = |AD| + |BC| =1. $

Dodając stronami nierówności (2) i uwzględniając związki (3) otrzymujemy

$ 2(1 + 1 + 1) \geq 6 \sqrt{3} (r_A + r_B + r_C + r_D), $

czyli

$ r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{1}{3} \sqrt{3}. $

Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie cztery nierówności (2) stają się równościami, czyli gdy trójkąty $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ i $ABC$ są równoboczne - innymi słowy, gdy czworościan $ABCD$ jest foremny.

Uwaga: Nierówność (1) można uzasadnić opierając się na dwóch wzorach wyrażających pole trójkąta :

$ S = pr,\quad \textrm{gdzie} \quad p = \frac{1}{2}(a + b + c) $

oraz

$ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $

({\it wzór Herona}). Stąd

$ pr^2 = (p-a)(p-b)(p-c). $

Średnia arytmetyczna liczb $p-a$ , $p-b$ , $p-c$ wynosi

$ \frac{1}{3}((p-a) + (p-b) + (p-c)) = \frac{1}{3} p $

i jest nie mniejsza niż średnia geometryczna tych liczb:

$ \frac{1}{3}p \geq ((p-a)(p-b)(p-c))^{1/3}. $

Podnosimy tę nierówność stronami do trzeciej potęgi i uwzględniając wcześniejszy związek otrzymujemy

$ \left(\frac{1}{3}p\right)^3 \geq (p-a)(p-b)(p-c) = pr^2, $

czyli $p^2 \geq 27r^2$ , skąd $2p \geq 6 \sqrt{3} r$ . Jest to właśnie nierówność (1). Równość zachodzi tylko wtedy, gdy ,,uśredniane'' liczby $p - a$ , $p - b$ , $p-c$ są równe, czyli tylko dla $a = b = c$ .