XLIII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Na płaszczyźnie narysowane cztery proste tak, że żadne dwie z nich nie są równoległe i żadne trzy nie mają punktu wspóinego. Proste te wyznaczają cztery trójkąty. Udowodnić, że ortocentra tych trójkątów leżą na jednej prostej.

Uwaga: Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości.

Rozwiązanie

Oznaczmy cztery dane proste przez $k$ , $l$ , $m$ , $n$ , a ich punkty przecięcia - przez $O$ , $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , tak, by

$ k \cap l = \{O\}, \quad k \cap n = \{P\}, \quad m \cap n = \{Q\}, $

$ l \cap m = \{R\}, \quad k \cap m = \{S\}, \quad l \cap n = \{T\}. $

Żadne dwa z tych punktów nie pokrywają się; gwarantują to warunki zadania.

Rysunek 5 przedstawia jedną z możliwych konfiguracji; jednak dla dalszego ciągu rozumowania nie ma żadnego znaczenia, czy trzy punkty przecięcia dowolnej z tych prostych z pozostałymi prostymi leżą na wybranej prostej w takim właśnie porządku, jak na rysunku, czy w jakimkolwiek innym.

Ortocentra czterech rozważanych trójkątów

$ \Delta OPT, \quad \Delta ORS, \quad \Delta QRT, \quad \Delta QPS $

oznaczmy odpowiednio przez $E$ , $F$ , $G$ , $H$ . Prosta $OE$ (patrz: Uwaga 1) zawiera wysokość trójkąta $OPT$ , jest więc prostopadła do prostej $PT$ , identycznej z prostą $QP$ .

Podobnie uzasadniamy każdy z następujących ośmiu związków prostopadłości:

$ (1) \qquad \quad OE\ \bot\ QP, \quad PE\ \bot\ OR, $

$ (2) \qquad \quad OF\ \bot\ QR, \quad RF\ \bot\ OP, $

$ (3) \qquad \quad QG\ \bot\ OR, \quad RG\ \bot\ QP, $

$ (4) \qquad \quad QH\ \bot\ OP, \quad PH\ \bot\ QR. $

Tezę zadania można uzyskać stosując rachunek na wektorach. Ze związków (1) wynika, że następujące iloczyny skalarne są równe zeru:

$ \overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{QP} = 0, \quad \overrightarrow{PE} \bullet \overrightarrow{OR} = 0. $

A ponieważ $\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}$ , $\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OP}$ , możemy te równości przepisać w postaci

$ (5) \qquad \overrightarrow{OE} \bullet (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}) = 0, \quad (\overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OP}) \bullet \overrightarrow{OR} = 0. $

Zależności (2), (3), (4) zapisujemy podobnie:

$ \begin{split} (6) \qquad \overrightarrow{OF} \bullet (\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ}) = 0, \quad & (\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OR}) \bullet \overrightarrow{OP} = 0.\\ (7) \qquad (\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OQ}) \bullet \overrightarrow{OR} = 0, \quad & (\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OR}) \bullet (\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}) = 0. \\ (8) \qquad (\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OQ}) \bullet \overrightarrow{OP} = 0, \quad & (\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OP}) \bullet(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}) = 0. \end{split} $

Dodajemy stronami dwie równości figurujące w (5):

$ \overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR} = 0 $

i przekształcalny otrzymany związek do postaci

$ (9) \qquad \overrightarrow{OE} \bullet (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR}) = \overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}. $

Analogicznie, przez dodanie stronami obu równości w każdej z par (6), (7), (8) dostajemy - odpowiednio - zależności

$ (10) \qquad \overrightarrow{OF} \bullet (\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OP}) = \overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}, $

$ (11) \qquad \overrightarrow{OG} \bullet (\overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ}) = \overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}, $

$ (12) \qquad \overrightarrow{OH} \bullet (\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ}) = \overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}. $

Oznaczmy wektor $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} +\overrightarrow{OR}$ przez $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ . W myśl równości (9) - (12),

$ (13) \qquad \overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} = \overrightarrow{OF} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} = \overrightarrow{OG} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} = \overrightarrow{OH} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} \quad ( = \overrightarrow{OP} \bullet \overrightarrow{OR}). $

Odejmując dwa pierwsze iloczyny dostajemy równość $0 = (\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}) \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}} = \overrightarrow{EF} \bullet \overrightarrow{\mathbf{w}}$ , która oznacza, że wektory $\overrightarrow{EF}$ i $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ są prostopadłe. Analogicznie, rozważając różnice dowolnych dwóch iloczynów figurujących w (13) stwierdzamy, że wektor $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ jest prostopadły do każdego z wektorów, którego końcami są dowolne dwa spośród punktów $E$ , $F$ , $G$ , $H$ .

Zauważmy, że $\overrightarrow{\mathbf{w}} = \overrightarrow{OP} -\overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{QR}$ nie jest wektorem zerowym; równość $\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{\mathbf{0}}$ oznaczałaby bowiem, że czworokąt $OPQR$ jest równoległobokiem, wbrew założeniu, że proste $OP$ i $QR$ - czyli $k$ i $m$ - nie są równolegle. Można wiec mówić o prostej prostopadłej do $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ , przechodzącej przez ustalony punkt; niech tym punktem będzie na przykład $E$ . Skoro każdy z wektorów $\overrightarrow{EF}$ , $\overrightarrow{EG}$ , $\overrightarrow{EH}$ jest prostopadły do $\overrightarrow{\mathbf{w}}$ , zatem punkty $F$ , $G$ , $H$ leżą na określonej przed chwilą prostej. Dowód jest zakończony.

Uwaga 1. Gdy któreś z rozważanych prostych przecinają się pod kątem prostym, wówczas ortocentrum odpowiedniego trójkąta pokrywa się z jednym wierzchołkiem; na przykład punkt $E$ może być identyczny z $O$ . Nie można więc mówić o {\it prostej} $OE$ ; niemniej, równość $\overrightarrow{OE} \bullet \overrightarrow{QP} = 0$ jest i w tym przypadku sensowna (i prawdziwa), bo $\overrightarrow{OE}$ jest wektorem zerowym. Podobnie każde z oznaczeń prostych, użyte w zależnościach (1) - (4), może stracić sens; ale odpowiednie związki (5) - (8) są słuszne w każdym przypadku.