XLIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite; długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód wielokąta jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie

Niech $A_1,\ldots,A_n$ będą kolejnymi wierzchołkami wielokąta; wygodnie nam będzie oznaczać wierzchołek $A_n$ także przez $A_0$ . Brzeg wielokąta tworzy łamaną zamkniętą, zatem

$ (1) \qquad \sum_{i=1}^n \overrightarrow{A_{i-1}A_i} = \overrightarrow{\mathbf{0}}. $

Oznaczmy współrzędne $i$ -tego wektora powyższej sumy przez $u_i$ , $v_i$ , a jego długość - przez $w_i$ :

$ \overrightarrow{A_{i-1}A_i} = [u_i,v_i], \quad |A_{i-1} A_i| = w_i \quad \textrm{dla} \quad i =1,2,\ldots,n. $

Liczby $u_i$ , $v_i$ , $w_i$ są z założenia całkowite. Oczywiście $w_i^2 = u_i^2 + v_i^2$ .

W rozwiązaniu będziemy korzystali z prostego spostrzeżenia, że kwadrat dowolnej liczby całkowitej $m$ jest liczbą tej samej parzystości, co $m$ (bowiem $m^2 = m + m(m- 1)$ , a iloczyn $m(m- 1)$ jest liczbą parzystą). Stąd wniosek, że dla dowolnych liczb całkowitych $m_1 ,m_2,\ldots, m_n$ mamy równoważność:

$ (2) \qquad \sum_{i=1}^n m_i \ \textrm{jest liczbą parzystą}\quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{i=1}^n m_i^2 \ \textrm{jest liczbą parzystą}. $

(Istotnie: na mocy poprzedniego spostrzeżenia, obie te sumy mają tyle samo składników nieparzystych.)

Równość (1) jest równoważna temu, że

$ \sum_{i=1}^n u_i = 0 \quad \textrm{oraz} \quad \sum_{i=1}^n v_i = 0. $

Przyjmując w (2) $m_i= u_i$ , a następnie $m_i = v_i$ , stwierdzamy, że sumy
$\displaystyle \sum_{i=1}^n u_i^2$ oraz $\displaystyle \sum_{i=1}^n v_i^2$ są liczbami parzystymi. W takim razie również suma

$ \sum_{i=1}^n w_i^2 = \sum_{i=1}^n u_i^2 + \sum_{i=1}^n v_i^2 $

jest liczbą parzystą. Wreszcie, stosując równoważność (2) do liczb $m_i = w_i$ wnosimy, że suma $\displaystyle \sum_{i=1}^n v_i^2$ jest także liczbą parzystą. A ta suma — to właśnie obwód wielokąta.