XLIII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Niech $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $b_1, b_2, \ldots , b_n$ będą liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że następujące warunki są równoważne:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$

zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n a_i x_i \leq \sum_{i=1}^n b_i x_i. $

Dla każdej liczby naturalnej $k\in \{1,2,\ldots, n-1\}$ zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i, \quad \text{ a ponadto} \quad \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i. $

Rozwiązanie

Dowód implikacji (a) $\Longrightarrow$ (b). W nierówności założonej w warunku (a) podstawiamy $x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 1$ i otrzymujemy

$ \sum_{i=1}^n a_i \leq \sum_{i=1}^n b_i; $

natomiast podstawiając $x_1 = x_2 = \ldots = x_n = -1$ otrzymujemy

$ \sum_{i=1}^n a_i \geq \sum_{i=1}^n b_i. $

Stąd

$ \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i. $

Ustalmy liczbę $k \in \{1,2,\ldots,n- 1\}$ i przyjmijmy $x_1 = \ldots = x_k = -1$ oraz $x_{k+1} = \ldots = x_n = 0$ ; dostajemy nierówność

$ \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i. $

Uzyskaliśmy wszystkie związki postulowane w warunku (b).

Dowód implikacji (b) $\Longrightarrow$ (a). Teraz zakładamy, że dane liczby $a_i$ , $b_i$ spełniają układ nierówności oraz równość podane w warunku (b). Oznaczmy:

$ r_i = b_i - a_i \quad \textrm{dla} \quad i=1,2,\ldots,n; $

$ s_k = \sum_{i=1}^k r_i \quad \textrm{dla} \quad k=1,2,\ldots,n; $

założenia przybierają postać

$ s_k \leq 0 \quad \textrm{dla} \quad k=1,2,\ldots,n-1 \quad \textrm{oraz} \quad s_n = 0. $

Oczywiście

$ r_1 = s_1, \quad r_k - r_{k-1} = s_k \quad \textrm{dla} \quad k=2,3,\ldots,n. $

Weźmy dowolne liczby $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$ . Przekształcamy różnicę między prawą a lewą stroną nierówności, którą mamy udowodnić (stosujemy tzw. {\it przekształcenie Abela}):

$ \begin{split} \sum_{i=1}^n b_i x_i - & \sum_{i=1}^n a_i x_i = \sum_{i=1}^n r_i x_i = r_1x_1 + r_2x_2 + \ldots + r_{n-1}x_{n-1} + r_nx_n = \\ & = s_1x_1 + (s_2-s_1)x_2 + \ldots + (s_{n-1}-s_{n-2})x_{n-1} + (s_n-s_{n-1})x_n=\\ & = s_1(x_1-x_2) + s_2(x_2-x_3) + \ldots + s_{n-1}(x_{n-1}-x_n)+s_nx_n. \end{split} $

Ostatni składnik otrzymanej sumy równa się zeru (bo $s_n=0$ ). Wszystkie pozostałe składniki są nieujemne (bo $s_k \leq 0$ , $x_k - x_{k-1} \leq 0$ ). Wobec tego przekształcana różnica jest nieujemna; nierówność podana w warunku (a) została udowodniona.