LIX OM - I -Zadanie 2

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Dany jest kąt wypukły o wierzchołku $P$ i punkt $A$ leżący wewnątrz tego kąta. Punkty $X$ i $Y$ leżą na różnych
ramionach tego kąta, przy czym $PX = PY$ oraz wartość sumy $AX +AY$ jest najmniejsza. Wykazać, że
$\measuredangle XAP = \measuredangle YAP$ .

Rozwiązanie

Niech $B$ będzie takim punktem płaszczyzny, dla którego $PB = PA$ oraz
$\measuredangle BPA = \measuredangle YPX$ (rys. 1).

Mamy wówczas $\measuredangle BPY = \measuredangle APX$ , zatem trójkąty $BPY$ i $APX$ są przystające
(cecha bok-kąt-bok). Stąd otrzymujemy równość $BY = AX$ . Wartość wyrażenia $AX + AY = BY + AY$
jest najmniejsza, więc stosując nierówność trójkąta dochodzimy do wniosku, że punkt $Y$ leży na odcinku $AB$ .
Ponieważ zaś trójkąt $BPA$ jest równoramienny, uzyskujemy

$<br /> \measuredangle YAP = \measuredangle BAP = \measuredangle ABP = \measuredangle YBP = \measuredangle XAP,<br />$

co kończy rozwiązanie.