XLIII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Wyznaczyć kres górny obiętości kul zawartych w czworościanach o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $1$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że kula o środku $Q$ i promieniu $r$ jest zawarta w czworościanie o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $1$ . Oznaczmy jego objętość przez $V$ , a pola ścian - przez $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ ; ustalmy numerację tak, by $S_1 \leq S_2 \leq S_3 \leq S_4$ .

Wysokość czworościanu, prostopadła do $i$ -tej ściany, ma długość $3V/S_i$ (na mocy wzoru: objętość ostrosłupa równa się $1/3$ iloczynu pola podstawy przez wysokość). Zgodnie z przyjętym warunkiem, długości te nie przekraczają $1$ . W szczególności $3V/S_1 \leq 1$ .

Zauważmy, że $V$ jest sumą objętości czterech czworościanów, których podstawami są ściany danego czworościanu, a wspólnym wierzchołkiem - punkt $Q$ (czyli środek rozważanej kuli). Wysokość każdego z tych czterech czworościanów, poprowadzona z punktu $Q$ , ma długość co najmniej $r$ .

Wnosimy stąd, że

$<br /> V \geq \frac{1}{3}S_1r + \frac{1}{3}S_2r + \frac{1}{3}S_3r + \frac{1}{3}S_4r \geq \frac{4}{3}S_1r.<br />$

Wobec tego

$<br /> r \leq \frac{3V}{4S_1} \leq \frac{1}{4}.<br />$

Gdy czworościan jest foremny, a kula jest weń wpisana, wszystkie napisane powyżej nierówności stają się równościami. Stąd wniosek, że kres górny możliwych wartości $r$ wynosi $1/4$ . Kula o promieniu $1/4$ ma objętość $\pi/48$ , i ta liczba jest kresem górnym objętości wszystkich rozpatrywanych kul.