XLIII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Ciągi $(x_n)$ i $(y_n)$ są określone następująco:

$ x_{n+1} = \frac{x_n+2}{x_n+1},\quad y_{n+1}=\frac{y_n^2+2}{2y_n} \quad \text{ dla } n=0,1,2,\ldots. $

Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej $n\geq 0$ zachodzi równość $y_n = x_{2^n-1}$ .

Rozwiązanie

Zajmiemy się ciągami $(a_n)$ , $(b_n)$ o wyrazach

$ a_n = \frac{x_n-\sqrt{2}}{x_n+\sqrt{2}}, \quad b_{n} = \frac{y_n-\sqrt{2}}{y_n+\sqrt{2}} \quad \textrm{dla} \quad n=0,1,2,\ldots. $

Wspólną wartość $a_0$ i $b_0$ oznaczmy przez $\lambda$ :

$ \lambda = \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = a_0=b_0. $

Z podanych w zadaniu rekurencyjnych określeń ciągów $(x_n)$ i $(y_n)$ wyprowadzamy analogiczne wzory dla ciągów $(a_n)$ i $(b_n)$ :

$ \begin{split} a_{n+1} & = \frac{x_{n+1} - \sqrt{2}}{ x_{n+1} + \sqrt{2}} = \frac{\displaystyle \frac{x_n + 2}{x_n+1}-\sqrt{2} }{\displaystyle \frac{x_n+2}{x_n+1} + \sqrt{2} } = \frac{x_n + 2 -\sqrt{2}x_n -\sqrt{2}}{x_n+2+\sqrt{2}x_n+\sqrt{2}}= \\ & = \frac{x_{n} - \sqrt{2}}{ x_{n} + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \lambda a_n,\\ b_{n+1} & = \frac{y_{n+1} - \sqrt{2}}{ y_{n+1} + \sqrt{2}} = \frac{\displaystyle \frac{y_n^2 + 2}{2y_n}-\sqrt{2} }{\displaystyle \frac{y_n^2+2}{2y_n} + \sqrt{2} } = \frac{y_n^2 + 2 -2\sqrt{2}y_n}{y_n^2+2+2\sqrt{2}y_n}= \\ & = \left( \frac{y_{n} - \sqrt{2}}{ y_{n} + \sqrt{2}} \right)^2 = b_n^2. \end{split} $