XLIII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

III

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P$ , przy czym $|PA|=|PD|$ , $|PB|=|PC|$ . Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $PAB$ . Dowieść, że proste $OP$ i $CD$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Niech prosta $l$ będzie dwusieczną kątów $APD$ i $BPC$ , a prosta $m$ niech będzie dwusieczną kątów $APB$ i $CPD$ . Proste $l$ oraz $m$ są prostopadłe. Z danych w założeniach równości odcinków wynika, że trójkąt $PCD$ jest obrazem trójkąta $PBA$ w symetrii osiowej względem prostej $l$ . Oznaczmy przez $Q$ punkt przecięcia prostej $m$ z okręgiem opisanym na trójkącie $PAB$ (różny od $P$ ). Prosta $m$ jest dwusieczną kąta $APB$ , więc kąty wpisane $BPQ$ i $APQ$ są równe (przystające). W takim razie także i odpowiednie kąty środkowe $BOQ$ i $AOQ$ są równe. Zatem prosta $OQ$ jest osią symetrii trójkąta równoramiennego $AOB$ ; jest więc prostopadła do cięciwy $AB$ .

Osią symetrii trójkąta równoramiennego $POQ$ jest prosta $l'$ , prostopadła do $m$ , więc równoległa do $l$ . Odcinek $OP$ jest symetryczny do $OQ$ względem prostej $l'$ ; odcinek $CD$ jest symetryczny do $AB$ względem prostej $l$ . Ze związków: $l || l'$ i $OQ \bot AB$ wynika więc, że $OP\bot CD$ - czyli teza zadania. (Rysunek 11 przedstawia sytuację, gdy trójkąt $PAB$ jest ostrokątny, czyli gdy punkt $O$ leży w jego wnętrzu; rozumowanie nie wymaga jednak żadnych zmian, gdy któryś z kątów trójkąta $PAB$ jest rozwarty.)