XLIII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ określone na zbiorze liczb wymiernych dodatnich, o wartościach w tym samym zbiorze, spełniające dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych warunki

$ f(x+1) = f(x)+1 \quad \text{ oraz }\quad f(x^3) = (f(x))^3. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że funkcja $f$ spełnia podane warunki. Wykażemy, że dla każdej liczby wymiernej $u>0$ oraz każdej liczby naturalnej $k$ zachodzi równość (1)

$ f(u + k) = f(u) + k. $

Traktujemy $u$ jako ustalone. Dla $k=1$ równość (1) zachodzi na mocy pierwszego z warunków danych w założeniach. Przyjmijmy słuszność (1) dla pewnego $k$ naturalnego. Wówczas, w myśl tego samego warunku,

$ \begin{split} f(u + (k+1)) & =f((u+k)+1) = f(u+k) + 1 =\\ & = (f(u)+k)+1 = f(u)+(k + 1). \end{split} $

Równość (1) zachodzi więc po zastąpieniu $k$ przez $k + 1$ . Na mocy zasady indukcji uzyskujemy słuszność (1) dla wszystkich $k$ naturalnych.

Weźmy dowolną dodatnią liczbę wymierną $x = m/n$ ( $m$ , $n$ naturalne). Przyjmując w (1) $u=x$ , $k = n^2$ mamy

$ f(x + n^2) = f(x) + n^2, $

i po podniesieniu stronami do trzeciej potęgi:

$ (2) \qquad (f(x+n^2))^3 = (f(x) + n^2)^3. $

Skorzystajmy teraz z drugiego warunku danego w założeniach, zastępując $x$ przez sumę $x + n^2$ :

$ f((x + n^2)^3) = (f(x + n^2))^3. $

Tak więc lewa strona (2) równa się $(f(x + n^2)^3)$ , czyli

$ (3) \qquad f(x^3+3n^2x^2+3n^4x + n^6). $

Zauważmy, że $3n^2x^2 + 3n^4x + n^6 = 3m^2 + 3mn^3 + n^6$ jest liczbą naturalną. Przyjmując w (1) tę właśnie liczbę jako $k$ oraz biorąc $u = x^3$ stwierdzamy, że wartość (3) jest równa