XLIII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

III

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest $2n$ -kąt foremny $A_1, A_2, \ldots, A_n$ . Sfera przechodząca przez wierzchołek $S$ , ostrosłupa pezecina krawędzie boczne $SA_i$ w punktach $B_i$ ( $i = 1,2,\ldots, 2n$ ). Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n |SB_{2i-1}| = \sum_{i=1}^n |SB_{2i}|. $

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

$ |SA_i| = l, \quad |SB_i| = x_i \quad (i=1,2,\ldots,2n) $

(rysunek 12). W zadaniu zakłada się milcząco, że $B_i$ jest punktem przecięcia danej sfery z krawędzią $SA_i$ , różnym od $S$ . Zatem $x_i > 0$ .

Oznaczmy środek sfery przez $O$ . Zachodzą równości między wektorami:

$ \begin{split} (1) \qquad & \overrightarrow{SB_i} = \frac{x_i}{l} \cdot \overrightarrow{SA_i},\\ (2) \qquad & \overrightarrow{OB_i} = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SB_i}. \end{split} $

Podnosimy (2) stronami do kwadratu (w sensie iloczynu skalarnego, oznaczanego tu grubą kropką):

$ \begin{split} \overrightarrow{OB_i} \bullet \overrightarrow{OB_i} & = (\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SB_i}) \bullet (\overrightarrow{OS} + \overrightarrow{SB_i}) = \\ & = \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{OS} +2 \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i} + \overrightarrow{SB_i} \bullet \overrightarrow{SB_i}, \end{split} $

czyli

$ (3) \qquad \begin{split} |OB_i|^2 & = |OS|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i} + |SB_i|^2 = \\ & = |OS|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i} + x_i^2. \end{split} $

Ponieważ punkty $S$ oraz $B_i$ leżą na sferze o środku $O$ , zatem $|OB_i| = |OS|$ , co pozwala nam przepisać równość (3) jako

$ x_i^2 = -2 \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SB_i}. $

Stąd, uwzględniając (1), mamy

$ x_i^2 = -\frac{2x_i}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SA_i}, $

i po podzieleniu stronami przez $x_i$ :

$ (4) \qquad x_i = - \frac{2}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SA_i}. $

Niech $Q$ będzie środkiem okręgu opisanego na wielokącie $A_1A_2 \ldots A_{2n}$ . Zauważmy, że wielokąty $A_1A_3\ldots A_{2n-1}$ i $A_2A_4\ldots A_{2n}$ są foremne. Zatem

$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{QA_{2i-1}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}, \quad \sum_{i=1}^n \overrightarrow{QA_{2i}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}. $

W takim razie

$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i-1}} = \sum_{i=1}^n (\overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{QA_{2i-1}} = n \cdot \overrightarrow{SQ}, $

$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i}} = \sum_{i=1}^n (\overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{QA_{2i}} = n \cdot \overrightarrow{SQ}. $

Stąd i z (4):

$ (5) \qquad \sum_{i=1}^n x_{2i-1} = -\frac{2}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i-1}} = \frac{2n}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SQ}, $

$ (6) \qquad \sum_{i=1}^n x_{2i} = -\frac{2}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \sum_{i=1}^n \overrightarrow{SA_{2i}} = -\frac{2n}{l} \cdot \overrightarrow{OS} \bullet \overrightarrow{SQ}. $

Sumy (5) i (6) okazały się być równe tej samej liczbie. Równość tych sum jest właśnie tezą zadania.