XLIII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

III

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $k$ liczba $(k!)^{k^2+k+1}$ jest dzielnikiem liczby $(k^3)!$ .

Rozwiązanie

Dla każdej pary liczb naturalnych $n,l \geq 1$ zachodzi równość

$ (1) \qquad {{ln}\choose{n}} = \frac{(ln)!}{n!(n-ln)!} = \frac{(ln)(ln-1)!}{n(n-1)!(n-ln)!} = l {{ln-1}\choose{n-1}} . $

Ustalmy liczby naturalne $n,m \geq 1$ . Podstawmy w (1) kolejno $l = 1,2,\ldots,m$ i wymnóżmy stronami otrzymane równości:

$ (2) \qquad \begin{split} \prod_{l=1}^m {{ln}\choose{n}} & = \prod_{l=1}^m \left( l {{ln-1}\choose{n-1}} \right) = \\ & = \left( \prod_{l=1}^m l \right) \left( \prod_{l=1}^m {{ln-1}\choose{n-1}} \right) = (m!) \left( \prod_{l=1}^m {{ln-1}\choose{n-1}} \right). \end{split} $

Przekształcamy lewa stronę równości (2):

$ \begin{split} \prod_{l=1}^m {{ln}\choose{n}} & = {{n}\choose{n}} {{2n}\choose{n}} {{3n}\choose{n}} \ldots {{mn}\choose{n}} = \\ & = \frac{n!}{n!0!} \cdot \frac{(2n)!}{n!n!} \cdot \frac{(3n)!}{n!(2n)!} \cdot \ldots \frac{(mn)!}{n!((m-1)n)!} \end{split} $

i po redukcji czynników powtarzających się w licznikach i w mianownikach:

$ (3) \qquad \prod_{l=1}^m {{ln}\choose{n}} = \frac{(mn)!}{(n!)^m}. $

Przyrównanie prawych stron wzorów (2) i (3) daje równość

$ (4) \qquad \frac{(mn)!}{(n!)^mm!} = \prod_{l=1}^m {{ln-1}\choose{n-1}}. $

Zatem dla każdej pary liczb naturalnych $n,m \geq 1$ iloraz $((mn)!)/((n!)^mm!)$ jest liczbą naturalną.

Niech $k$ będzie zadaną liczbą naturalną. Podstawiając w (4) najpierw $n=m=k$ , a następnie $n=k$ , $m = k^2$ , dostajemy po prawej stronie liczby naturalne, które oznaczymy odpowiednio przez $A_1(k)$ i $A_2(k)$ :

$ \frac{(k^2)!}{(k!)^k \cdot k!} = A_1(k), \quad \frac{(k^3)!}{(k!)^{k^2}(k^2)!} = A_2(k). $

Stąd przez pomnożenie stronami:

$ \frac{(k^3)!}{(k!)^{k^2+k+1}} = A_1(k) A_2(k). $

Zatem istotnie liczba $(k^3)!$ jest podzielna przez $(k!)^{k^2+k+1}$ .

Uwaga: Przyjmijmy w (4): $n = k$ , $m=k^j$ , i oznaczmy otrzymaną wartość wyrażenia (4) przez $A_j(k)$ :

$ (5) \qquad \frac{(k^{j+1})!}{(k!)^{k^j}(k^j)!} = A_j(k). $

Weźmy dowolną liczbę naturalną $r \geq 1$ i wymnóżmy stronami równości (5) zastosowane kolejno dla $j = 1,\ldots,r$ . Wynik tej operacji:

$ \begin{split} \frac{(k^2)!}{(k!)^{k}(k)!} \cdot \frac{(k^3)!}{(k!)^{k^2}(k^2)!} \cdot \frac{(k^4)!}{(k!)^{k^3}(k^3)!} \cdot & \ldots \cdot \frac{(k^{r+1})!}{(k!)^{k^r}(k^r)!}= \\ & = A_1(k) A_2(k) A_3(k) \ldots A_r(k), \end{split} $