LIX OM - I -Zadanie 3

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Ciąg liczb całkowitych $a_1, a_2, a_3, \dots$ jest określony przez warunki: $a_1 = 1, a_2 = 2$ ,

$<br /> (1)\qquad a_n =3a_n-1 +5a_{n-2} \quad\text{ dla }n =3,4,5,\dots .<br />$

Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba całkowita $k \geqslant 2$ , że liczba $a_k$ jest dzielnikiem
iloczynu $a_{k+1}a_{k+2}$ .

Rozwiązanie

Z danego w treści zadania warunku (1) wynika, że

$<br /> a_{k+1}a_{k+2} = a_{k+1}(3a_k +5a_{k+1})=3a_ka_{k+1} +5a_{k+1}^2<br />$

dla $k \geqslant 2$ . Wobec tego liczba $a_k$ jest dzielnikiem iloczynu $a_{k+1}a_{k+2}$ wtedy i tylko
wtedy, gdy jest dzielnikiem liczby $5a_{k+1}^2$ .

Zauważmy, że żaden wyraz ciągu $a_1, a_2, a_3, \dots$ nie jest liczbą podzielną przez 5. W istocie,
dla każdego wskaźnika $n\geqslant 3$ z równości $a_n-3a_{n-1} =5a_{n-2}$ wynika, że liczby
$a_n, a_{n-1}$ są obie podzielne przez 5 lub też żadna z nich.

Ponieważ jednak $a_1 =1, a_2 =2$ są liczbami niepodzielnymi przez 5, więc przez prostą indukcję otrzymujemy
żądany wniosek. Analogicznie dowodzimy, że dla dowolnego $n \geqslant 3$ liczby $a_n, a_{n-2}$ są obie
podzielne albo obie niepodzielne przez 3, zatem w danym ciągu nie występują liczby podzielne przez 3.

Pozostaje więc zbadać, czy istnieje taka liczba całkowita $k \geqslant 2$ , że liczba $a_2$ jest podzielna przez
$a_k$ . Ponieważ $a_k \geqslant 2$ , więc oznacza to, że liczby $a_k$ i $a_{k+1}$ muszą mieć wspólny dzielnik
pierwszy $p$ . Jak wykazaliśmy wyżej, liczba $p$ jest różna od 3 i 5. Ponadto istnieje najmniejsza taka liczba
całkowita dodatnia $m$ , że liczby $a_m$ i $a_{m+1}$ są podzielne przez $p$ . Mamy oczywiście $m\geqslant 2$ ,
więc zachodzi równość $5a_{m-1} = a_{m+1} -3a_m$ , z której wnioskujemy, że liczba $a_{m-1}$ jest podzielna
przez $p$ . To jednak przeczy określeniu liczby $m$ .

Uzyskana sprzeczność dowodzi, że taka liczba $k$ nie istnieje.