XLII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Na brzegu jeziora w kształcie koła znajdują się cztery przystanie $K$ , $L$ , $P$ , $Q$ . Z przystani $K$ wypływa kajak kierując się do przystani $Q$ , a z przystani $L$ wypływa łódka kierując się do przystani $P$ . Wiadomo, że gdyby zachowując swe prędkości kajak popłynął w kierunku przystani $P$ , a łódka w kierunku przystani $Q$ , to doszłoby do zderzenia. Dowieść, że kajak i łódka dobiją do celu w tym samym czasie.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że kajak płynie z prędkością $v_k$ , a łódka płynie z prędkością $v_l$ . Oznaczmy przez $X$ punkt, w którym ,,doszłoby do zderzenia''. Długości odcinków, na które punkt $X$ dzieli cięciwy $KP$ i $LQ$ są związane zależnością $|KX| \cdot |PX| = |LX| \cdot |QX|$ (rysunek 1).

Z warunków zadania wynika, że stosunek prędkości $v_k \colon v_l = |KX| \colon |LX|$ . Z tych dwóch równości otrzymujemy proporcję $v_k \colon v_l = |QX| \colon |PX|$ .

Kąty wierzchołkowe $KXQ$ i $LXP$ są równe. Wobec tego trójkąty $KXQ$ i $LXP$ są podobne w skali $v_k \colon v_l$ , a zatem także $|KQ| \colon |LP| =v_k \colon v_l$ , czyli

$<br /> |KQ| \colon v_k = |LP| \colon v_l.<br />$

Lewa strona ostatniej proporcji wyraża czas zużyty przez kajak na przepłynięcie z $K$ do $Q$ ; prawa strona - to czas przepłynięcia łódki z $L$ do $P$ . Stąd teza.