XLII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające nierówność

$ 2\left| x - |x + |x-1|| \right| > \left x + |x - |x+1|| \right|. $

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę nierówności przez $L(x)$ i $P(x)$ . Tak więc

$ L(x) = 2|x-|f(x)||, \quad P(x) = |x + |g(x)||, $

gdzie

$ f(x) = x + |x-1|, \quad g(x) = x-|x + 1|. $

Zauważmy, że

$ f(x) = 1 + (x -1) + |x - 1| \geq 1, \quad g(x) = (x +1) -|x +1| - 1 \leq -1; $

funkcja $f$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, a funkcja $g$ - tylko wartości ujemne. Zatem

$ L(x) = 2|x-f(x)|, \quad P(x) = |x-g(x)|. $

Podstawiając wyrażenia definiujące funkcje $f$ i $g$ otrzymujemy wzory

$ L(x) = 2|x-1|, \quad P(x) = |x + 1|. $

Dana w zadaniu nierówność $L(x) > P(x)$ (wiążąca liczby nieujemne) jest równoważna nierówności kwadratowej $L(x)^2 > P(x)^2$ , czyli nierówności

$ 3x^2-10x + 3 > 0. $

Pierwiastkami uzyskanego trójmianu kwadratowego są liczby $\frac{1}{3}$ i $3$ . Zatem zbiór liczb spełniających rozważaną nierówność jest sumą przedziałów

$ \left(-\infty; \ \frac{1}{3}\right) \cup (3;\infty). $