XLII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Liczby rzeczywiste $a$ , $x$ , $y$ , $z$ spełniają równość

$ \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x+y+z)} = a $

Wykazać, że

$ \cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y) = a $

Rozwiązanie

Piszmy dla wygody $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ zamiast $x$ , $y$ , $z$ ; przyjmijmy $x_4 = x_1$ oraz $w = x_1+x_2+x_3$ . Założenie przybiera postać:

$ \sum_{j=1}^3 \cos x_j = a \cos w, \quad \sum_{j=1}^3 \sin x_j = a \sin w. $

Stąd

$ \begin{split} \cos (y+z) + \cos (z+x) +\cos (x+y) & = \sum_{j=1}^3 \cos (x_j + x_{j+1}) = \sum_{j=1}^3 \cos (w-x_j) = \\ & = \sum_{j=1}^3 (\cos w \cos x_j + \sin w \sin x_j) = \\ & (\cos w) \sum_{j=1}^3 \cos x_j + (\sin w) \sum_{j=1}^3 \sin x_j = \\ & = a \cos^2 w + a \sin^2 w = a. \end{split} $