XLII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Obliczyć granicę

$ \lim_{n\to \infty} \sqrt[3n]{\sum_{k=0}^n \binom{3n}{3k}} $

Sposób I

Oznaczmy sumę występującą pod pierwiastkiem przez $a_n$ :

$ a_n = \sum_{k=0}^n \binom{3n}{3k} = 2+ \sum_{k=1}^{n-1} \binom{3n}{3k} \quad \textrm{dla} \ n \geq 2. $

Symbole dwumianowe spełniają tożsamość

$ \binom{m}{j} = \binom{m-1}{j-1} + \binom{m-1}{j} \quad \textrm{dla}\ j=1, \ldots, m-1. $

Korzystając dwukrotnie z tej tożsamości uzyskujemy dla $k = 1,\ldots,n-1$ nierówność

$ \begin{split} \binom{3n}{3k} & = \binom{3n-1}{3k-1} + \binom{3n-1}{3k} = \binom{3n-2}{3k-2} + 2\binom{3n-2}{3k-1} + \binom{3n-2}{3k} > \\ & > \binom{3n-2}{3k-2} + \binom{3n-2}{3k-1} + \binom{3n-2}{3k}. \end{split} $

Stąd

$ \begin{split} a_n -2 = \sum_{k=1}^{n-1} \binom{3n}{3k} & > \sum_{k=1}^{n-1} \binom{3n-2}{3k-2} + \binom{3n-2}{3k-1} + \binom{3n-2}{3k} = \\ & = \sum_{j=1}^{3n-3} \binom{3n-2}{j} = \sum_{j=0}^{3n-2} \binom{3n-2}{j} -2 =2^{3n-2} - 2 \end{split} $

(skorzystaliśmy z tego, że suma wyrazów $N$ -tego wiersza trójkąta Pascala równa się $2^N$ ). W połączeniu z oczywistą nierównością

$ a_n < \sum_{j=0}^{3n} \binom{3n}{j} = 2^{3n} $

daje to dwustronne oszacowanie

$ \frac{1}{4} \cdot 2^{3n} < a_n < 2^{3n}. $

Wyciągając ze wszystkich trzech członów nierówności pierwiastek stopnia $3n$ otrzymujemy związek

$ 2 \cdot \sqrt[3n]{\frac{1}{4}}< a_n < 2. $

Gdy $n$ dąży do nieskończoności, pierwiastek stopnia $3n$ z dowolnie ustalonej liczby dodatniej (w tym przypadku $\frac{1}{4}$ ) dąży do $1$ . Stąd, na mocy twierdzenia o trzech ciągach, wynika odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie:

$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[3n]{a_n} = 2. $

Sposób II

Suma występująca pod znakiem pierwiastka, oznaczona w poprzednim sposobie rozwiązania przez $a_n$ , daje się dość łatwo ,,zwinąć'': zachodzi mianowicie wzór

$ (1) \qquad \binom{N}{0}+\binom{N}{3}+\binom{N}{6} + \ldots + \binom{N}{3[N/3]} = \frac{1}{3} \left( 2^N + 2 \cos \frac{N \pi}{3} \right). $

Dowód można znaleźć na przykład w książce: L. Jeśmanowicz, J. Łoś {\it Zbiór zadań z algebry}, cz. I, Warszawa 1959 (Twierdzenia 1.17-1.18); także w miesięczniku {\it Delta}, numer 5 (1990) (zadanie M 563). Zachęcamy Czytelników do samodzielnego udowodnienia wzoru (1), przez indukcję albo przez rachunek na liczbach zespolonych z wykorzystaniem wzoru de Moivre'a.

Przyjmując w (1) $N= 3n$ dostajemy