XLII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Dany jest odcinek $AD$ . Znaleźć na nim takie punkty $B$ i $C$ , by iloczyn długości odcinków $AB$ , $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ , $CD$ był maksymalny.

Rozwiązanie

Rozważamy takie położenia punktów $B$ i $C$ , przy których

$ (1) \qquad |AB| \leq |AC| \leq |AD|; $

to znaczy, przyjmujemy, że punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą na prostej w takim właśnie porządku (nie tracimy przez to ogólności, bowiem badany w zadaniu iloczyn nie zmienia wartości przy zamianie ról $B$ i $C$ ); słabe nierówności w (1) oznaczają, że dopuszczamy przypadki graniczne, gdy pewne z punktów $A$ , $B$ , $C$ , $D$ pokrywają się.

Przyjmijmy długość odcinka $AD$ za jednostkę: $|AD| = 1$ . Ponadto oznaczmy:

$ x = |BC|,\ y = |AB|-|CD|; \quad x \in \langle 0;1 \rangle,\ y \in \langle -1;1 \rangle. $

Wówczas $|AB| + |CD| = 1- x$ , skąd

$ \begin{split} |AB| = \frac{1}{2} (1-x + y), & \quad |CD| = \frac{1}{2}(1-x-y),\\ |AC| = |AB| + |BC| = \frac{1}{2}(1+x +y), & \quad |BD| = |BC| + |CD| = \frac{1}{2}(1 + x-y). \end{split} $

Rozważany iloczyn długości odcinków wynosi

$ \begin{split} (2) \qquad I & = \frac{1}{16}x (1-x + y)(1-x-y)(1 + x + y)(1+x-y) =\\ & = \frac{1}{16} x ((1-x)^2 - y^2) ((1+x)^2 - y^2) \leq \\ & \leq \frac{1}{16} x(1-x)^2(1+x)^2 = \frac{1}{16} x (1-x^2)^2; \end{split} $

ta nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy $y = 0$ - czyli gdy $|AB| = |CD|$ .

Wartość maksymalną wielomianu

$ f(x) = x(1-x^2)^2 = x^5-2x^3 + x $

na przedziale $\langle 0;\ 1\rangle$ możemy znaleźć przez różniczkowanie:

$ f'(x) = 5x^4 - 6x^2+1 = 5(x^2-1)\left(x^2-\frac{1}{5}\right) \left\{ \begin{array}{ccl} >0 & \textrm{dla} & x \in (0; \frac{1}{5} \sqrt{5}),\\ <0 & \textrm{dla} & x \in (\frac{1}{5} \sqrt{5}; 1);\\ \end{array} \right. $

widzimy, że $f$ osiąga maksimum dla $x = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ .

[Zamiast różniczkować, można zastosować metodę bardziej elementarną (i przez to bardziej elegancką): skorzystać z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną piątki liczb. Tymi pięcioma liczbami będą: $4x^2$ oraz czterokrotnie powtórzona liczba $1-x^2$ . Otrzymujemy nierówność

$ \left(4 x^2 (1-x^2)^4\right)^{1/5} \leq \frac{1}{5}\left(4x^2+4(1-x^2)\right), $

czyli

$ 4^{1/5} f(x)^{2/5} \leq \frac{4}{5}, $

przy czym równość uzyskujemy, gdy uśredniane liczby są równe; to znaczy gdy
$4x^2 = 1 - x^2$ , czyli dla $x = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ .]

Zgodnie z oszacowaniem (2) oraz następującą po nim uwagą, wyrażenie $I$ osiąga maksimum dla $x = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ , $y = 0$ . Odpowiada to umieszczeniu odcinka $BC$ długości $x = \frac{1}{5} \sqrt{5}$ symetrycznie względem środka odcinka $AD$ - z zachowaniem porządku (1), bądź też z zamianą ról punktów $B$ i $C$ .