XLII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, $\measuredangle BAC| = 100^{\circ}$ , dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ . Dowieść, że

$ |AD| + |DB| = |BC|. $

Trójkąt równoramienny $FCD$ jest podobny do $ABC$ (wspólny kąt $C$ ), więc $|\measuredangle CFD| = 100^\circ$ . Wobec tego zachodzą równości

$ \begin{split} |\measuredangle DEF| = 80^\circ & = |\measuredangle DFE|,\\ |\measuredangle BDF| = |\measuredangle BDE| + |\measuredangle EDF|& = 60^\circ + 20^\circ = 80^\circ = |\measuredangle BFD|, \end{split} $

z których wynika, że trójkąty $DEF$ i $BDF$ są równoramienne:

$ |DE| = |DF|, \quad |BD| = |BF|. $

A zatem

$ |BC| = |BF| + |CF| = |BD| + |DE| = |BD| + |AD|. $