XLII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Dane są liczby rzeczywiste dodatnie $a$ , $b$ . Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych dodatnich $x$ , $y$ spełniające równanie

$ \frac{27xy}{(1+2ax)(1+2by)} = \frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b} $

Rozwiązanie

Stosując trzykrotnie nierówność między średnią arytmetyczną trójki liczb oraz średnią geometryczną tych liczb stwierdzamy, że

$ \begin{split} 1+2ax & = 1 + ax + ax \geq 3 (a^2x^2)^{1/3},\\ 1+2by & = 1 + by + by \geq 3 (b^2y^2)^{1/3}, \end{split} $

oraz

$ \frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \geq 3 \left(\frac{xy}{a^2b^2}\right)^{1/3} = \frac{27xy}{9(abxy)^{2/3}}. $

Mianownik ostatniego ułamka - to dokładnie iloczyn liczb znajdujących się po prawych stronach dwóch poprzednich równości. Wobec tego

$ \frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b} \geq \frac{27xy}{(1+2ax)(1+2by)} $

(dla dowolnych liczb dodatnich $a$ , $b$ , $x$ , $y$ ). Wszystkie wypisane powyżej nierówności stają się jednocześnie równościami tylko wtedy, gdy $ax = 1$ , $by = 1$ oraz $1/ab = x/a = y/b$ - czyli gdy $x = y = 1/a = 1/b$ .

Stąd odpowiedź:

Jeśli dane liczby $a$ , $b$ są różne, równanie nie ma rozwiązań; jeśli są równe $(a=b)$ , wówczas jedynym rozwiązaniem danego równania jest $x = y = \frac{1}{a}$ .