LIX OM - I -Zadanie 1

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Rozwiązać w liczbach rzeczywistych $x, y, z$ układ równań

$ \begin{cases} x^5 =5 y^3 -4z \\ y^5 =5z^3 -4x \\ z^5 =5x^3 -4y \end{cases} $

Rozwiązanie

Jeżeli trójka liczb $(x,y,z)$ spełnia dany układ równań, to spełniają go również trójki liczb
$(y,z,x)$ i $(z,x,y)$ . Zatem bez ograniczenia ogólności rozumowania możemy przyjąć, że $x$ jest
najmniejszą wśród liczb $x, y, z$ (pozostałe rozwiązania otrzymamy przez cykliczne przestawienie zmiennych).

Rozpatrzmy dwa przypadki.

1. $y \leqslant z$ . Mamy więc $x \leqslant y \leqslant z$ . Funkcja
$f(t) = t^5$ jest ściśle rosnąca, zatem z drugiego i trzeciego równania danego układu otrzymujemy

$ 5 z^3 = y^5 +4x \leqslant z^5 +4y =5x^3. $

Funkcja $f(t) = t^3$ również jest ściśle rosnąca. Wobec tego powyższa nierówność implikuje, że
$z\leqslant x$ . W konsekwencji $x= y= z$ . Stąd wynika, że rozwiązania danego układu równań w tym
przypadku mają postać $x= y= z= t$ , gdzie $t$ jest rozwiązaniem równania $t=5 t^3 -4t$ . To równanie jest
równoważne równaniu

$ 0= t^5 -5 t^3 +4t = t(t^4 -5t^2 +4)= t(t^2 -1)(t^2 -4) = t(t-1)(t+1)(t-2)(t+2), $

które ma rozwiązania $t = -2,-1,0,1,2$ . Otrzymujemy więc 5 rozwiązań danego układu równań:
$x= y= z \in {-2,-1,0,1, 2}$ .

2. $y>z$ . W tym przypadku $x \leqslant z<y$ . Rozumując podobnie jak poprzednio uzyskujemy

$ 5 y^3 = x^5 +4z < z^5 +4y =5x^3, $

czyli $y < x$ . Zatem $x \leqslant z < y < x$ , co nie może mieć miejsca. Uwalniając się od założenia,
że $x$ jest najmniejszą wśród liczb $x, y, z$ , widzimy, że jedynymi rozwiązaniami układu są rozwiązania
otrzymane w przypadku 1.

Odpowiedź: Rozwiązaniami $(x,y,z)$ danego układu równań są:

$ (-2,-2,-2),(-1,-1,-1),(0,0,0),(1,1,1),(2,2,2). $