XLII OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Wyznaczyć największą liczbę naturalną $n$ , dla której istnieje w przestrzeni $n+1$ wielościanów $W_0, W_1, \ldots, W_n$ o następujących własnościach:

(l) $W_0$ jest wielościanem wypukłym mającym środek symetrii,

(2) każdy z Wielościanów $W_i$ ( $i = 1,\ldots, n$ ) powstaje z $W_0$ przez przesunięcie,

(3) każdy z wielościanów $W_i$ ( $i = 1,\ldots, n$ ) ma punkt wspólny z $W_0$ ,

(4) wielościany $W_0, W_1, \ldots, W_n$ mają wnętrza parami rozłączne.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielościany $W_0, W_1, \ldots ,W_n$ spełniają podane warunki. Wielościan $W_1$ jest obrazem $W_0$ w translacji o pewien wektor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ (warunek (2)). Oznaczmy przez $O_0$ środek symetrii wielościanu $W_0$ (warunek (1)); punkt $O_1$ będący obrazem $O_0$ w translacji o $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ jest środkiem symetrii $W_1$ . Rysunek 3 ilustruje wariant płaski rozpatrywanego zagadnienia (przedstawienie konfiguracji przestrzennej bardzo by tę ilustrację zaciemniło); wielościany $W_0$ i $W_1$ zostały przedstawione jako środkowo-symetryczne wielokąty.

Na mocy warunku (3) wielościany $W_0$ i $W_1$ mają punkty wspólne (być może wiele). Niech $K$ będzie wspólnym punktem $W_0$ i $W_1$ (dowolnie wybranym). Oznaczmy przez $L$ obraz punktu $K$ w symetrii środkowej względem
$O_1$ ; zatem $L \in W_1$ . Niech $N$ będzie punktem takim, że $\overrightarrow{NL}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$ i niech $M$ będzie środkiem odcinka $NK$ (rysunek 4). Tak więc $N \in W_0$ . Zgodnie z warunkiem (1), zbiór $W_0$ jest wypukły; to znaczy, że wraz z dowolnymi dwoma punktami należącymi do $W_0$ cały odcinek łączący te punkty zawiera się w $W_0$ . Skoro więc $K \in W_0$ oraz $N \in W_0$ , to także $M \in W_0$ . Odcinek $MO_1$ łączy środki odcinków $KN$ i $KL$ , a wobec tego $\overrightarrow{MO_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathbf{v}}$ , czyli $M$ jest środkiem odcinka $O_0O_1$ .

Oznaczmy przez $U$ obraz wielościanu $W_0$ w jednokładności o środku $O_0$ i skali 3. Wykażemy, że $W_1 \subset U$ . Weźmy dowolny punkt $P \in W_1$ : niech
$Q \in W_0$ będzie punktem takim, że $\overrightarrow{QP} =\overrightarrow{\mathbf{v}}$ i niech $S$ będzie środkiem symetrii równoległoboku $O_0O_1PQ$ . Środkowe $O_0S$ i $QM$ trójkąta $O_0O_1Q$ przecinają
się w punkcie $G$ takim, że $\overrightarrow{O_0G} = \frac{2}{3}\overrightarrow{O_0S} = \frac{1}{3}\overrightarrow{O_0P}$ (rysunek 5). To znaczy, że $P$ jest obrazem punktu $G$ w rozważanej jednokładności. A skoro $G$ jest punktem odcinka $QM$ o końcach w zbiorze (wypukłym) $W_0$ , zatem $G \in W_0$ . Wobec tego $P \in U$ i z dowolności wyboru punktu $P \in W_1$ wnosimy, że $W_1 \subset U$ .

W ten sam sposób dowodzimy, że każdy ze zbiorów $W_i (i= 1,\ldots,n)$ zawiera się w $U$ . Oczywiście także $W_0 \subset U$ . Tak więc zbiór $W_0 \cup W_1 \cup \ldots \cup W_n$ jest wielościanem zawartym w $U$ . Na mocy warunków (2) i (4) jego objętość równa się objętości $W_0$ pomnożonej przez $n+ 1$ . Natomiast objętość $U$ równa się objętości $W_0$ pomnożonej przez $27$ . Stąd $n \leq 26$ .

Pozostaje zauważyć, że wartość $n = 26$ może być osiągnięta (przykład realizacji: $27$ sześcianów $W_0, \ldots, W_{26}$ ułożonych, jak w kostce Rubika). Zatem szukana liczba równa się $26$ .

Uwaga. Ten sam wynik uzyskujemy zakładając, że $W_0, \ldots, W_n$ są dowolnymi ograniczonymi, domkniętymi bryłami wypukłymi (niekoniecznie wielościanami), o niepustych wnętrzach, spełniającymi warunki (1)-(4); rozumowanie przenosi się bez żadnych zmian. Co więcej, warunek (4) okazuje się zbędny. Udowodnił to Marcin Kasperski w pracy 27 zbiorów wypukłych bez środka symetrii, nagrodzonej złotym medalem na Konkursie Uczniowskich Prac z Matematyki w 1991 roku; skrót pracy przedstawia Delta w numerze 3 (1992).