XLII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Niech $(a_n)$ będzie dowolnym ciągiem liczb naturalnych spełniającym warunki:

$ a_1=1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n +2 \text{ dla } n=1,2,3,\ldots. $

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ iloczyn $a_na_{n+1}$ równa się pewnemu wyrazowi tego ciągu.

Rozwiązanie

Treść zadania nic nie mówi o wartości drugiego wyrazu ciągu $(a_n)$ . Oznaczmy ją więc przez $c$ ; jest to pewna liczba naturalna.

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ , korzystając z podanego określenia rekurencyjnego i z warunków początkowych $a_1 = 1$ , $a_2 = c$ :

$ \begin{split} & a_3 = 2a_2 -a_1 + 2 = 2c-1 + 2 = 2c+1,\\ & a_4 = 2a_3 -a_2 + 2 = 2(2c + 1)-c + 2 = 3c + 4,\\ & a_5 = 2a_4 -a_3 + 2 = 2(3c + 4)-(2c+1) + 2 = 4c + 9,\\ & a_6 = 2a_5 -a_4 + 2 = 2(4c + 9)-(3c + 4) + 2 = 5c+16,\\ & a_7 = 2a_6 -a_5 + 2 = 2(5c + 16) - (4c + 9) + 2 = 6c + 25. \end{split} $

Widzimy, że dla $n=1,2,3,4,5,6,7$ zachodzi równość

$ (1) \qquad a_n = (n-1)c + (n-2)^2. $

Domyślamy się, że jest to wzór ogólny. Nasze przypuszczenie udowodnimy przez indukcję.

Zakładamy, że wzór (1) jest słuszny dla dwóch kolejnych liczb naturalnych $n = k$ oraz $n = k +1$ :

$ a_k = (k-1)c + (k-2)^2, \quad a_{k+1} = kc + (k -1 )^2. $

Zgodnie z określeniem ciągu $(a_n)$ mamy równość

$ \begin{split} a_{k+2} & = 2a_{k+1} - a_k + 2 =\\ & = 2 (kc + (k - 1)^2) - ((k - 1 )c + (k - 2)^2) + 2 =\\ & = (k+1)c + 2(k^2-2k+1)-(k^2-4k + 4) + 2 =\\ & = (k+1)c + k^2, \end{split} $

która pokazuje, że wzór (1) zachodzi także dla $n=k + 2$ . Na mocy zasady indukcji wynika stąd słuszność tego wzoru dla $n = 1,2,3,\ldots$ .

Niech $n \geq 1$ będzie dowolną liczbą naturalną. Mamy dowieść, że dla pewnego naturalnego $m \geq 1$ zachodzi równość $a_na_{n+1} =a_m$ , czyli

$ ((n - 1 )c + (n - 2)^2) (nc + (n - 1)^2) = (m - 1 )c + (m - 2)^2. $

Przepiszmy tę zależność w postaci

$ (2) \qquad m^2 + (c-4)m + (4-c)-((n-1)c + (n-2)^2)(nc + (n-1)^2) = 0. $

Traktując to jako równanie kwadratowe względem $m$ znajdujemy pierwiastki:

$ m_1 = 2 - nc - (n - 1)(n - 2), \quad m_2 = 2 + (n - 1)c + (n - 1)(n - 2). $

Drugi z nich równa się $a_n +n$ , zgodnie z wzorem (1); jest to liczba całkowita dodatnia. Zatem dla $m = a_n + n$ spełniona jest równość (2), a więc i równoważna jej postulowana równość $a_na_{n+1} = a_m$ .

Wykazaliśmy, że iloczyn wyrazów o numerach $n$ i $n + 1$ równa się wyrazowi o numerze $m = a_n + n$ .