XLII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Liczby $a_i$ , $b_i$ , $c_i$ , $d_i$ spełniają warunki $0\leq c_i \leq a_i \leq b_i \leq d_i$ oraz $a_i+b_i = c_i+d_i$ dla $i=1,2,\ldots,n$ . Udowodnić, że

$ \prod_{i=1}^n a_i + \prod_{i=1}^n b_i \leq \prod_{i=1}^n c_i + \prod_{i=1}^n d_i $

Rozwiązanie

Indukcja. Dla $n = 1$ dana do udowodnienia nierówność zachodzi (ze znakiem równości; bowiem $a_1+b_1 =c_1+d_1$ , zgodnie z założeniem).

Ustalmy liczbę naturalną $n \geq 1$ i przyjmijmy słuszność podanego twierdzenia dla tej właśnie liczby $n$ . Mamy wykazać jego słuszność dla $n + 1$ .

Niech więc dane będą liczby $a_i$ , $b_i$ , $c_i$ , $d_i$ ( $i = 1,\ldots,n +1$ ) spełniające warunki $0 \leq c_i \leq a_i \leq b_i \leq d_i$ oraz $a_i + b_i= c_i + d_i$ . Oznaczmy

$ A = \prod_{i=1}^n a_i, \quad B = \prod_{i=1}^n b_i, \quad C = \prod_{i=1}^n c_i, \quad D = \prod_{i=1}^n d_i. $

Z założenia indukcyjnego mamy nierówność $A + B \leq C + D$ , czyli

$ (1) \qquad A-C \leq D-B; $

mamy zaś dowieść, że

$ (2) \qquad Aa_{n+1} + Bb_{n+1 } \leq Cc_{n+1} + Dd_{n+1}. $

Na mocy warunków spełnianych przez liczby $a_i$ , $b_i$ , $c_i$ , $d_i$ zachodzą następujące równości i nierówności:

$ \begin{split} (3) \qquad a_{n+1}-c_{n+1} & =d_{n+1}-b_{n+1},\\ (4) \qquad a_{n+1} & \leq b_{n+1}, \\ (5) \qquad C & \leq D, \end{split} $

przy czym wyrażenia występujące po obu stronach każdej z relacji (1), (3), (4), (5) są nieujemne. Nierówności zgodnie skierowane, wiążące liczby nieujemne, wolno mnożyć stronami. Mnożymy więc stronami (1) przez (4) oraz (3) przez (5):

$ \begin{split} (A-C)a_{n+1} & \leq (D-B)b_{n+1},\\ (a_{n+1}- c_{n+1})C & \leq (d_{n+1} - b_{n+1})D. \end{split} $

Otrzymane nierówności dodajemy:

$ Aa_{n+1} -Cc_{n+1} \leq Dd_{n+1}- Bb_{n+1}. $

Uzyskaliśmy tezę indukcyjną (2).

Na mocy zasady indukcji twierdzenie zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej $n$ .