XLII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Na bokach $BC$ , $CA$ , $AB$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio takie punkty $D$ , $E$ , $F$ , że

$<br /> \frac{|DB|}{|DC|} = \frac{|EC|}{|EA|} = \frac{|FA|}{|FB|}<br />$

Dowieść, że jeżeli trójkąt $DEF$ jest równoboczny, to także trójkąt, $ABC$ jest równoboczny.

Rozwiązanie

Oznaczmy wspólną wartość podanych stosunków przez $\lambda$ :

$<br /> (1) \qquad \frac{|DB|}{|DC|} = \frac{|EC|}{|EA|} = \frac{|FA|}{|FB|} = \lambda.<br />$

Zakładamy, że trójkąt $DEF$ jest równoboczny. Przedstawimy dowód foremności trójkąta $ABC$ , zachęcając Czytelnika do znajdowania innych metod rozwiązania (np. przez rachunki na wektorach; na liczbach zespolonych; przez porównywanie różnych kątów; itd.).

Użyjemy pojęcia i własności przekształceń afinicznych (por. np.: J. Bednarczuk, Urok przekształceń afinicznych, Warszawa 1978).

Istnieje przekształcenie afiniczne $h$ przeprowadzające trójkąt $ABC$ na pewien trójkąt równoboczny $A'B'C'$ . Przekształcenie afiniczne zachowuje współliniowość punktów oraz stosunek podziału odcinka. Zatem punkty $D'=h(D)$ , $E'=h(E)$ , $F' = h(F)$ leżą na bokach $B'C'$ , $C'A'$ , $A'B'$ trójkąta $A'B'C'$ i dzielą je w tych samych stosunkach, w jakich punkty $D$ , $E$ , $F$ dzielą boki trójkąta $ABC$ - czyli w równych stosunkach. Stąd wniosek, że trójkąt $D'E'F'$ jest równoboczny.

Istnieje w takim razie podobieństwo $g$ takie, że $g(D) = D'$ , $g(E)= E'$ , $g(F)=F'$ . Obrazy punktów $D$ , $E$ , $F$ są w obu tych przekształceniach ( $g$ i $h$ ) takie same. Ale przekształcenie afiniczne jest wyznaczone jednoznacznie przez swe wartości w dowolnych trzech niewspółliniowych punktach. To znaczy, że rozważane tu przekształcenia $g$ i $h$ są tym samym przekształceniem - czyli że $h$ jest podobieństwem.

Obrazem trójkąta $ABC$ w przekształceniu $h$ jest trójkąt równoboczny $A'B'C'$ . Skoro zaś $h$ jest podobieństwem, zatem i trójkąt $ABC$ jest równoboczny.