XLII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

Dane są liczby całkowite dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ takie, że $a+b = c+d = e+f = 101$ . Udowodnić, że liczby $\frac{ace}{bdf}$ nie można zapisać w postaci ułamka $\frac{m}{n}$ gdzie $m$ , $n$ są liczbami całkowitymi dodatnimi o sumie mniejszej od $101$ .

Rozwiązanie

Z założenia zadania wynika, że zachodzą kongruencje

$ a \equiv -b, \quad c \equiv -d, \quad e \equiv -f \pmod{101}. $

Mnożymy te trzy związki stronami:

$ ace \equiv -bdf \pmod{101}. $

Przypuśćmy, wbrew tezie, że

$ \frac{ace}{bdf} = \frac{m}{n}, $

gdzie $m$ , $n$ są liczbami całkowitymi dodatnimi takimi, że $m + n< 101$ . Mamy więc zależność

$ mbdf = nace \equiv -nbdf \pmod{101}, $

czyli

$ (m + n)bdf \equiv 0 \pmod{101}. $

To znaczy, że liczba $101$ jest dzielnikiem iloczynu $(m + n)bdf$ . Musi więc, jako liczba pierwsza, dzielić któryś z czynników. Otrzymaliśmy sprzeczność, bo każda z liczb $b$ , $d$ , $f$ , $m + n$ jest dodatnia oraz mniejsza od $101$ . Sprzeczność kończy dowód.

Uwaga 1. W udowodnionym twierdzeniu można oczywiście zastąpić liczbę $101$ dowolną liczbą pierwszą, a zamiast trzech ułamków - rozpatrywać dowolną nieparzystą liczbę ułamków.

Uwaga 2. Użycie języka i własności kongruencji jest w rozwiązaniu wygodne, ale nie jest niezbędne; były one przydatne do uzasadnienia podzielności iloczynu $(m + n)bdf$ przez $101$ .

Konkluzję tę można, nie używając pojęcia kongruencji, uzyskać następująco: w myśl założenia, $a = p - b$ , $c = p- d$ , $e = p - f$ (rozumowanie prowadzimy od razu dla dowolnej liczby pierwszej $p$ , zgodnie z Uwagą 1). Zatem