XLII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

III

Zbadać, czy istnieją czworościany $T_1$ i $T_2$ o następujących dwóch własnościach:

(a) objętość czworościanu $T_1$ jest większa od objętości czworościanu $T_2$ ;

(b) pole każdej ściany czworościanu $T_1$ nie przekracza pola żadnej ściany czworościanu $T_2$ .

Rozwiązanie

Istnieją takie pary czworościanów. Więcej: dla dowolnego czworościanu $T_1$ można zbudować czworościan $T_2$ tak, by były spełnione warunki (a) i (b). Oto przykład metody:

Niech $T_1$ będzie dowolnym czworościanem: niech $V_1$ będzie jego objętością, a $S_1$ - polem największej ściany. Weźmy liczbę dodatnią $a$ spełniającą nierówność $a^2 > 2S_1$ oraz dobierzmy do niej liczbę dodatnią $b$ taką, by zachodziła nierówność $a^2b< V_1$ . Zbudujmy prostopadłościan $P$ , którego dwiema równoległymi ścianami są kwadraty $Q$ i $Q'$ o boku długości $a$ , położone w odległości $b$ jeden od drugiego. Niech $T_2$ będzie czworościanem, którego dwiema rozłącznymi (skośnymi) krawędziami są przekątne kwadratów $Q$ i $Q'$ . Objętość $V_2$ czworościanu $T_2$ jest mniejsza niż objętość prostopadłościanu $P$ , równa $a^2b$ . Zatem $V_2 < V_1$ .

Ścianami czworościanu $T_2$ są cztery przystające trójkąty, o równym polu $S_2$ . Rzut każdego z nich na płaszczyznę kwadratu $Q$ jest połówką tego kwadratu. A zatem $S_2 > \frac{1}{2}($ pole $Q)= \frac{1}{2}a^2 > S_1$ .

Czworościany $T_1$ i $T_2$ mają więc wymagane własności.