XLII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

III

Niech $N$ będzie dowolną liczbą postaci

$ N= \sum_{k=1}^{60} \varepsilon_k\cdot k^{k^k}, $

gdzie każdy ze współczynników $\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_{60}$ równa się $1$ lub $-1$ . Udowodnić, że $N$ nie jest piątą potęgą żadnej liczby naturalnej.

Uwaga: $k^{k^k} = k^{(k^k)}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że liczba $60^{60^{60}}$ jest piątą potęgą pewnej liczby naturalnej $M$ ; mianowicie

$ 60^{60^{60}} = M^5, \quad \textrm{gdzie} \ M=60^{12 \cdot 60^{59}}. $

Spośród składników sumy określającej liczbę $N$ , największym (co do wartości
bezwzględnej) jest oczywiście ten ostatni ( $60^{60^{60}}$ ). Wszystkie pozostałe składniki, wzięte łącznie, z dowolnymi znakami, stanowią tak znikomy ułamek liczby $M^5 = 60^{60^{60}}$ , że ich dodanie lub odjęcie nie pozwoli wyjść poza przedział $((M - 1)^5;( M + 1)^5)$ ; na tym nieprecyzyjnym spostrzeżeniu opiera się całe rozwiązanie.

Oznaczmy:

$ L = \sum_{k=1}^{59} \varepsilon_k \cdot k^{k^k}. $

Oszacujemy wartość bezwzględną tej sumy z góry i z dołu:

$ (1) \qquad |L| \leq \sum_{k=1}^{59} \varepsilon_k \cdot k^{k^k} < 59 \cdot 59^{59^{59}} = 59^{59^{59}+1} < 60^{59^{59}+1} < 60^{12 \cdot 60^{59}} = M; $

jednocześnie

$ \begin{split} (2) \qquad |L| \geq 59^{59^{59}} - \sum_{k=1}^{58} k^{k^k} & > 59^{59^{59}} - 58 \cdot 58^{58^{58}} = \\ & = 59^{59^{59}} - 58^{58^{58}+1} > 59^{59^{59}} - 59^{58^{58}+1} > 0; \end{split} $

skorzystaliśmy z banalnych nierówności $12 \cdot 60^{59} > 59^{59} + 1$ i $59^{59} > 58^{58} + 1$ .

Ponieważ

$ N = L + \varepsilon_{60} \cdot 60^{60^{60}} = L + \varepsilon_{60} \cdot M^5, $

z oszacowania (1) widać, że liczba $N$ ma znak taki, jak $\varepsilon_{60}$ . Jeśli więc $\varepsilon_{60}=- 1$ , to $N$ jest liczbą ujemną - nie może więc być piątą potęgą żadnej liczby naturalnej.

W dalszym ciągu przyjmujemy, że $\varepsilon_{60} = +1$ . Zatem $N = M^5 + L$ .

Przypuśćmy, że $N$ jest piątą potęgą pewnej liczby naturalnej $K$ :

$ N = K^5. $

Liczba $K$ nie może być równa $M$ ; znaczyłoby to bowiem, że $L = 0$ , wbrew nierówności (2). Wobec tego $K \geq M +1$ lub $K \leq M - 1$ i w konsekwencji

$ L = K^5 - M^5 \geq (M +1)^5- M^5 \quad \textrm{lub} \quad L \leq (M - 1)^5 - M^5. $

Stąd

$ \begin{split} |L| & \geq \min \{(M + 1)^5 - M^5, M^5 - (M - 1)^5\} = M^5 - (M - 1 )^5 =\\ & = 5 M^4 - 10M^3 +10M^2 - 5M +1 > 5M^4 - 10 M^3 > M^4. \end{split} $

To się jednak nie da pogodzić z oszacowaniem (1). Sprzeczność dowodzi niesłuszności przypuszczenia, że $N = K^5$ dla pewnego $K$ naturalnego; dowód jest zakończony.