XLII OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

III

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych rozważamy zbiór $V$ wszystkich wektorów swobodnych, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi. Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ , określone na zbiorze $V$ , o wartościach rzeczywistych, spełniające warunki:

(a) $f(v) = 1$ dla każdego z czterech wektorów $v\in V$ o długości $1$ ;

(b) $f(v+w) = f(v) + f(w)$ dla każdej pary wektorów prostopadłych $v, w \in V$ .

Uwaga: Wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że funkcja $f$ spełnia postawione warunki. Korzystając z tych
warunków, wypiszmy wartości $f(\overrightarrow{\mathbf{v}})$ dla kilku wektorów o niewielkich współrzędnych całkowitych:

$ \begin{array}{cccc} \overrightarrow{\mathbf{v}} & f(\overrightarrow{\mathbf{v}}) & \overrightarrow{\mathbf{v}} & f(\overrightarrow{\mathbf{v}}) \\ {[} 1, 0{]} & 1 & {[} 2, 0{]} = {[} 1,1 {]} + {[}1,-1{]} & 2 + 2 = 4 \\ {[} 0, 1{]} & 1 & {[} 0, 2{]} = {[} 1,1 {]} + {[}-1,1{]} & 2 + 2 = 4 \\ {[}-1, 0{]} & 1 & {[}-2, 0{]} = {[}-1,1 {]} + {[}-1,-1{]} & 2 + 2 = 4 \\ {[} 0,-1{]} & 1 & {[} 0,-2{]} = {[}-1,-1{]} + {[} 1,-1{]} & 2 + 2 = 4 \\ {[} 1, 1{]} = {[} 1,0{]} + {[}0,1 {]} & 1 + 1=2 & {[}1,2{]} = {[}1,0{]} + {[}0,2 {]} & 1+4 = 5 \\ {[}-1, 1{]} = {[}-1,0{]} + {[}0,1{]} & 1 + 1 = 2 & {[}2,-1{]} = {[}2,0{]} + {[}0,-1{]} & 4+1 = 5 \\ {[}-1,-1{]} = {[}-1,0{]} + {[}0,-1{]} & 1 + 1=2 & {[}3,1{]} = {[}1,2{]} + {[}2,-1{]} & 5 + 5=10 \\ {[} 1,-1{]} = {[}0,-1{]} + {[}1,0{]} & 1+1 = 2 & {[}3,0{]} = {[}3,1{]} - {[}0,1 {]} & 10-1 = 9 \end{array} $

(Przy obliczaniu ostatniej ze znalezionych wartości wykorzystaliśmy prostopadłość wektorów $[3,0]$ i $[0,1]$ i wynikającą z niej na mocy warunku (b) równość $f([3,0]) = f([3,1])-f([0,1])$ .)

Widzimy z tej tabelki, że $f([k,0])=k^2$ dla $k = 1,2,3$ . Prowadzi to do przypuszczenia, że dla wszystkich $k$ naturalnych powinna zachodzić równość $f([k,0]) = k^2$ , oraz także - przez symetrię - $f([0,k]) = k^2$ , $f([-k,0]) = k^2$ , $f([0,-k]) = k^2$ , a jeśli tak - to

$ (1) \qquad f([x,y]) = x^2 + y^2 \quad \textrm{dla wszystkich całkowitych} \ x,y, $

bowiem wektor $[x,y]$ jest sumą wektorów prostopadłych $[x,0]$ i $[0,y]$ .

Udowodnimy teraz słuszność hipotezy (1).

Wektor zerowy $\overrightarrow{\mathbf{0}} = [0,0]$ jest prostopadły do każdego wektora, więc i do siebie samego. Stąd $f(\overrightarrow{\mathbf{0}}) = f(\overrightarrow{\mathbf{0}}+\overrightarrow{\mathbf{0}}) = f(\overrightarrow{\mathbf{0}}) + f(\overrightarrow{\mathbf{0}})$ , czyli $f(\overrightarrow{\mathbf{0}}) = 0$ . Zatem równość (1) zachodzi dla $x = y = 0$ .

Wykażemy przez indukcję względem $n$ , że

$ (2) \qquad \left\{ \begin{array}{c} f([x,y]) = x^2 + y^2 \quad \textrm{dla każdego wektora} \ [x,y]\\ \textrm{o współrzędnych całkowitych} \ x,y\ \textrm{takich, że} \ |x| \leq n, |y| \leq n. \end{array} \right. $

Dla $n = 1$ jest to prawda; widać to z tabelki.

Przyjmijmy słuszność stwierdzenia (2) dla pewnej liczby naturalnej $n \geq 1$ . W szczególności mamy więc

$ f([n,-1]) = f([1,n]) = f([-n,1]) = f([-1,-n]) = n^2 + 1. $

Cztery występujące w tych równościach wektory są kolejno parami prostopadłe. Zatem, zgodnie z warunkiem (b),

$ (3) \qquad \begin{split} f([n+1, n-1]) & = f([n,-1]) + f([ 1,n]) =2n^2 + 2,\\ f([1-n, n+1]) & = f([1,n]) + f([-n,1]) =2n^2 + 2,\\ f([-n-1,1-n]) & = f([-n,1]) + f([-1 ,-n]) = 2n^2+2,\\ f([n-1,-n-1]) & = f([-1,-n]) + f([n,-1]) = 2n^2+2. \end{split} $

Jednocześnie mamy równość

$ f([n + 1,n- 1]) = f([n+ 1,0]) + f([0,n - 1]). $

Stąd wobec pierwszego z wzorów (3) oraz założenia indukcyjnego dostajemy:

$ f([n + 1,0]) = f([n + 1,n-1])-f([0,n-1]) = (2n^2+2)-(n-1)^2 = (n+1)^2. $

Podobnie, korzystając z pozostałych trzech wzorów (3), dostajemy równości

$ \begin{split} f([0,n+1]) = (n + 1)^2,& \\ f([-n-1,0]) = (n+1)^2, & \\ f([0,-n-1]) = (n+1)^2. & \end{split} $

Wykazaliśmy w ten sposób, że

$ f([k,0]) = f([0,k]) = k^2 $

dla dowolnej liczby całkowitej $k$ o module nie przekraczającym $n + 1$ . (Dla $|k| = n+1$ są to otrzymane przed chwilą wzory; a dla $|k| \leq n$ jest to konsekwencja założenia indukcyjnego.) Jeśli więc $[x,y]$ jest dowolnym wektorem o współrzędnych całkowitych, których moduły nie przekraczają $n+1$ , to