XLII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

III

Nieprzystające okręgi $k_1$ i $k_2$ leżą jeden na zewnątrz drugiego. Wspólne styczne do tych okręgów przecinają prostą wyznaczoną przez ich środki w punktach $A$ i $B$ . Niech $P$ będzie dowolnym punktem okręgu $k_1$ . Dowieść, że istnieje średnica okręgu $k_2$ , której jeden koniec leży na prostej $PA$ , a drugi — na prostej $PB$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy środki okręgów $k_1$ i $k_2$ odpowiednio przez $O_1$ i $O_2$ , a ich promienie - przez $r_1$ i $r_2$ . Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej $O_1O_2$ , przy czym jest obojętne, która litera oznacza który punkt. Umówmy się, dla ustalenia uwagi, że punkt $B$ leży na odcinku $O_1O_2$ , a punkt $A$ - poza tym odcinkiem.

Weźmy pod uwagę jedną z wspólnych stycznych do okręgów $k_1$ i $k_2$ , przechodzącą przez punkt $A$ oraz jedną z wspólnych stycznych, przechodzącą przez punkt $B$ . Punkty styczności tej pierwszej prostej z okręgami $k_1$ i $k_2$ oznaczmy przez $U_1$ i $U_2$ , a tej drugiej - przez $V_1$ i $V_2$ (rysunek 9 przedstawia sytuację, gdy $r_1 < r_2$ ; ale całe dalsze rozumowanie nie zmienia się, gdy $r_1 > r_2$ - proponujemy Czytelnikowi wykonanie odpowiedniego rysunku).

Z podobieństwa trójkątów prostokątnych $AU_1O_1$ i $AU_2O_2$ oraz z podobieństwa trójkątów $BV_1O_1$ i $BV_2O_2$ wynikają proporcje

$ \frac{|AO_2|}{|AO_1|} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{|BO_2|}{|BO_1|}. $

Niech $j_A$ będzie jednokładnością o środku $A$ i stosunku $r_2/r_1$ ; symbolem $j_B$ oznaczmy jednokładność o środku $B$ i stosunku $-r_2/r_1$ . Z uzyskanych przed chwilą proporcji wynika, że

$ j_A(O_1) = O_2 = j_B(O_1). $

Widzimy więc, że obrazom okręgu $k_1$ w każdej z tych jednokładności jest okrąg $k_2$ .

Weźmy pod uwagę punkty

$ Q = j_A(P), \quad R = j_B(P); $

leżą one na okręgu $k_2$ . Punkt $R$ jest obrazem punktu $Q$ w przekształceniu

$ f = j_B \circ j_A^{-1}. $

Przekształcenie $j_A^{-1}$ (odwrotne do $j_A$ ) jest jednokładnością o stosunku $r_1/r_2$ . Zatem $f$ jest izometrią, i to izometrią parzystą (jako złożenie dwóch jednokładności).

Okrąg $k_2$ przechodzi w przekształceniu $j_A^{-1}$ na okrąg $k_1$ : okrąg $k_1$ przechodzi w przekształceniu $j_B$ na okrąg $k_2$ . Tak więc obrazem okręgu $k_2$ w przekształceniu $f$ jest ten sam okrąg $k_2$ . Wobec tego $f$ , jako izometria parzysta, jest obrotem o pewien kąt wokół punktu $O_2$ .

Aby wyznaczyć ten kąt, oznaczmy przez $C_1$ i $D_1$ punkty przecięcia prostej $O_1O_2$ z okręgiem $k_1$ , a przez $C_2$ i $D_2$ punkty przecięcia tej prostej z okręgiem $k_2$ . Ustalmy oznaczenia tak, by rozważane punkty leżały na prostej $O_1O_2$ w porządku: $C_1$ , $O_1$ , $D_1$ , $B$ , $D_2$ , $O_2$ , $C_2$ . Wówczas $j_A(D_1) = C_2$ , $j_B(D_1) = D_2$ , a więc $f(C_2) = D_2$ .

Odcinek $C_2D_2$ jest średnicą okręgu $k_2$ ; obrót $f$ przeprowadza jeden jej koniec na drugi. W takim razie $f$ jest obrotem o $180^\circ$ .

Wcześniej zauważyliśmy, że $f$ przeprowadza punkt $Q$ na $R$ . To znaczy, że także odcinek $QR$ jest średnicą okręgu $k_2$ . Punkt $Q$ leży na prostej $PA$ , a punkt $R$ na prostej $PB$ . Odcinek $QR$ jest więc średnicą, której istnienie należało wykazać.