XLII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLII OM, 1990-1991

Etap:

III

Dowieść, że dla każdej trójki liczb rzeczywistych $x,y,z$ takich, że $x^2+y^2+z^2 = 2$ spełniona jest nierówność $x+y+z\leq 2+xyz$ oraz ustalić, kiedy zachodzi równość.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia

$ u = yz, \ v = zx, \ w = xy, \ s = x + y + z, \ q = xyz. $

Z założenia, że $x^2 + y^2 + z^2 = 2$ , wynikają równości

$ \begin{split} x^2 + (y-z)^2 & = 2-2u,\\ y^2 + (z-x)^2 & = 2-2v,\\ z^2 + (x-y)^2 & = 2-2w. \end{split} $

Lewe strony są liczbami nieujemnymi. Stąd $u,v,w \leq 1$ . Mamy więc nierówność

$ (1) \qquad (1-u)(1-v)(1-w) \geq 0. $

Z przyjętych oznaczeń wynika, że

$ s^2 = (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2+ 2(yz + zx + xy) = 2 + 2(u + v + w), $

czyli

$ u+v+w = \frac{1}{2}s^2 - 1. $

Ponadto

$ vw+ wu + uv = x^2yz + y^2zx + z^2xy = sq $

oraz

$ uvw = (yz)(zx)(xy) = q^2. $

Mamy zaś udowodnić, że

$ (2) \qquad s-q \leq 2. $

Przekształcamy lewą stronę nierówności (1), korzystając ze związków uzyskanych powyżej:

$ \begin{split} (1 - u)(1 - v)( 1 - w) & = 1-(u+v + w) + (vw + wu+uv)-uvw =\\ & = 1-(\tfrac{1}{2}s^2-1) + sq - q^2=\\ & = 2-\tfrac{1}{2}(s-q)^2-\tfrac{1}{2}q^2. \end{split} $

Zgodnie z (1), jest to liczba nieujemna. Zatem

$ \tfrac{1}{2}(s-q)^2 \leq 2-\tfrac{1}{2} q^2. $

Ponieważ zaś

$ (3) \qquad q^2 \geq 0, $

wnosimy stąd, że $(s-q)^2 \leq 4$ , czyli

$ |s-q| \leq 2. $

Dowodzona nierówność (2) wynika stąd natychmiast.

Aby stała się ona równością, konieczne są znaki równości w szacowaniach (1) i (3). Równość w (3) oznacza, że jedna z liczb $x$ , $y$ , $z$ jest zerem. Niech na przykład $z = 0$ . Wtedy $u = v = 0$ i równość w (1) oznacza, że $w= 1$ , czyli $xy= 1$ . Wreszcie, skoro $q = 0$ , zatem postulowana równość w (2) przybiera postać $s = 2$ , czyli $x+y = 2$ .

Jedynym rozwiązaniem układu równań: $x+ y = 2$ , $xy = 1$ jest $x = y= 1$ .

Przyjęliśmy przykładowo, że $z = 0$ . Oczywiście jeśli $x = 0$ lub $y = 0$ , to - odpowiednio - uzyskujemy związek $y = z = 1$ lub $z = x = 1$ jako konieczny warunek zachodzenia równości w (2).

I na odwrót: jeśli dwie spośród liczb $x$ , $y$ , $z$ są jedynkami, a jedna zerem, to udowodniona nierówność staje się równością. Jest to więc warunek konieczny i dostateczny.