LIX OM - I -Zadanie 5

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Znaleźć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $(p,q,r)$ , że liczby

$ pq + qr + rp \quad \text{oraz} \quad p^3+q^3+r^3-2pqr $

są podzielne przez $p+ q +r$ .

Rozwiązanie

Niech liczby pierwsze $p, q, r$ spełniają żądane warunki. Liczba

$ pq +qr +rp = p(p+q +r)-(p^2 -qr) $

jest podzielna przez $p+q+r$ . Wobec tego liczby $p^2-qr$ oraz $p(p^2-qr)=p^3-pqr$ są również podzielne
przez $p+q+r$ . Analogicznie dowodzimy, że liczby

$ q^3 -pqr \quad \text{oraz} \quad r^3 -pqr $

są podzielne przez $p + q + r$ . Sumując te trzy liczby dostajemy podzielność liczby
$p^3 + q^3 + r^3 -3pqr$ przez $p + q + r$ . Zatem na mocy warunków zadania liczba $p+ q +r$ jest dzielnikiem
liczby $pqr$ .

Liczby $p, q, r$ są pierwsze, więc wszystkimi dodatnimi dzielnikami liczby pqr są:
$1, p, q, r, pq, qr, rp, pqr$ (przy czym niektóre z nich mogą być równe). To oznacza, że $p + q + r$
musi być równe jednemu z tych dzielników. Cztery pierwsze dzielniki są mniejsze od $p + q + r$ . Ponadto
$pqr >p + q + r$ , gdyż ze względu na nierówności $p,q,r \geqslant 2$ mamy

$ pqr \geqslant 4\cdot \max\{p,q,r\} > 3\cdot \max\{p,q,r\}\geqslant p+q +r. $

Zatem liczba $p+q+r$ jest równa $pq$ , $qr$ lub $rp$ . Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że
$p+q +r = pq$ . Liczba $pq +qr +rp$ jest więc podzielna przez $pq$ . Stąd liczba

$ pq(p+q +1)-(pq +qr +rp)=(p+ q)(pq -r)=(p+ q)^2 $

dzieli się przez $pq$ . To oznacza, że liczba $p + q$ jest podzielna przez liczby pierwsze
$p$ i $q$ . Musi więc być $p = q$ . Ponadto $r = pq -p-q = p^2 -2p = p(p-2)$ jest liczbą pierwszą.
Wobec $p \geqslant 2$ iloczyn $p(p - 2)$ może być liczbą pierwszą jedynie wtedy, gdy
$p-2 = 1$ . Ostatecznie mamy $p = q =3$ i $r =3\cdot 1 = 3$ .

Pozostaje bezpośrednio sprawdzić, że otrzymane liczby spełniają warunki zadania.

Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem są liczby $(p,q,r) = (3,3,3)$ .

Uwaga

W powyższym rozwiązaniu udowodniliśmy, że liczba $p^3 + q^3 + r^3 -3pqr$ jest podzielna przez
$p + q + r$ . Można tę podzielność również wykazać przy użyciu tożsamości

$ x^3 +y^3 +z^3 -3xyz =(x +y +z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx). $