XLI OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Wyznaczyć w zależności od stałych rzeczywistych $a$ , $b$ liczbę rzeczywistych pierwiastków równania

$ \sqrt{(x-a)\cdot|x-b|} = (a-b)^2. $

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą stronę równania przez $f(x)$ ; ma ona sens liczbowy dla $x \leq a$ . Określona w ten sposób funkcja $f \colon \langle a;\infty ) \to \mathbb{R}$ dana jest więc wzorem

$ f(x)=\sqrt{|F(x)|} \quad \textrm{dla} x \geq a, $

gdzie

$ F(x) = (x-a)(x-b). $

Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek I. Gdy $a \geq b$ , funkcja $f$ jest ściśle rosnąca oraz ciągła w całej swej dziedzinie, czyli w przedziale $\langle a; \infty)$ . Skoro $f(a) = 0$ , $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ , zatem dla każdej wartości $c \geq 0$ równanie $f(x) = c$ ma dokładnie jedno rozwiązanie (istnienie tego rozwiązania wynika z ciągłości funkcji $f$ , a jedyność - z jej ścisłej monotoniczności). Przyjmując w szczególności $c = (a - b)^2$ dostajemy wniosek, że rozważane równanie ma (w tym przypadku) jeden pierwiastek rzeczywisty.

Przypadek II. Gdy $a < b$ , funkcja kwadratowa $F$ osiąga minimum równe
$- \frac{1}{4} (b-a)^2$ w punkcie $x_0 = \frac{1}{2}(a+b)$ ; jest malejąca w przedziale $\langle a;x_0 \rangle$ , a rosnąca w $\langle x_0;\infty)$ . Zatem funkcja $f = \sqrt{|F|}$ osiąga w punkcie $x_0$ lokalne maksimum równe $\frac{1}{2}(b-a)$ ; jest rosnąca w przedziałach $\langle a;x_0 \rangle$ i $\langle b;\infty \rangle$ , a malejąca w $\langle x_0;b \rangle$ . Liczba pierwiastków równania $f(x) = (a- b)^2$ wynosi więc trzy, dwa lub jeden - w zależności od tego, czy liczba $(a - b)^2$ jest mniejsza, równa, czy większa od $\frac{1}{2}(b-a)$ . W rozważanym obecnie przypadku $(a<b)$ te trzy sytuacje są odpowiednio równoważne temu, że różnica $b-a$ jest mniejsza, równa bądź większa od $\frac{1}{2}$ .

Biorąc pod uwagę konkluzje rozważań w przypadkach I i II możemy sformułować odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie:

Liczba rzeczywistych pierwiastków równania $f(x) = (a-b)^2$ wynosi:

$ \begin{array}{rl} \textrm{trzy - gdy} & 0<b-a< \frac{1}{2},\\ \textrm{dwa - gdy} & b - a= \frac{1}{2},\\ \textrm{jeden - gdy} & b-a> \frac{1}{2} \ \textrm{lub}\ b-a \leq 0. \end{array} $