Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XLI OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

I

Udowodnić, że jeżeli liczby $A$ , $B$ są różne od zera, to funkcja

$<br /> f(x) = A\sin x+B \sin(\sqrt{2}\cdot x)<br />$

nie jest okresowa.

Rozwiązanie

Sposób I. Przypuśćmy, wbrew tezie, że funkcja $f$ jest okresowa i niech $T$ będzie okresem:

$<br /> f(x + T) = f(x) = f(x-T) \quad \textrm{dla wszystkich} \ x \in \mathbb{R}.<br />$

Zachodzi więc równość

$<br /> f(x + T)-f(x-T) = 0 \quad \textrm{dla} \ x \in \mathbb{R},<br />$

którą możemy przekształcić następująco, stosując znane tożsamości trygonometryczne:

$<br /> \begin{split}<br /> & A\sin (x + T)-A\sin (x-T) + B\sin(\sqrt{2} \cdot x + \sqrt{2} \cdot T)-B\sin (\sqrt{2} \cdot x-\sqrt{2} \cdot T) = 0,\\<br /> & (1) \qquad 2A\cos x\sin T+2B \cos(\sqrt{2}\cdot x)\sin(\sqrt{2} \cdot T) = 0 \quad \textrm{dla} x \in \mathbb{R}.<br /> \end{split}<br />$

Podstawiając $x = 0$ otrzymujemy stąd równość

$<br /> (2) \qquad 2A\sin T + 2B\sin(\sqrt{2} \cdot T) = 0;<br />$

natomiast podstawiając w (1) $x = \pi/2$ dostajemy

$<br /> 2B\cos (\pi/\sqrt{2})\sin (\sqrt{2} \cdot T) = 0.<br />$

Czynnik $cos(\pi/ \sqrt{2})$ nie jest zerem. Także $B \ne 0$ , zgodnie z założeniem. Zatem

$<br /> (3) \qquad \sin (\sqrt{2} \cdot T) = 0.<br />$

Z równości (2) i (3) wnosimy (uwzględniając założenie $A \ne 0$ ), że

$<br /> (4) \qquad \sin T = 0.<br />$

Otrzymane równości (3) i (4) nie dadzą się jednak pogodzić: wynikałoby z nich, że zarówno liczba $T$ , jak i $\sqrt{2} \cdot T$ , musi być całkowitą wielokrotnością $\pi$ . To zaś nie jest możliwe, wobec niewymierności liczby $\sqrt{2}$ . Sprzeczność dowodzi, że funkcja $f$ nie jest okresowa.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/652