XLI OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Na zewnątrz trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano trójkąty równoboczne $ABC'$ , $BCA'$ , $CAB'$ . Dowieść, że odcinki $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ przecinają się w jednym punkcie i są równej długości.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę obrót płaszczyzny o $60^\circ$ wokół punktu $B$ , w takim kierunku, by punkt $A$ przeszedł na $C'$ , a punkt $A'$ - na $C$ . Trójkąt $ABA'$ nałoży się wówczas na trójkąt $C'BC$ . Zatem $|AA'| = |CC'|$ , przy czym proste $AA'$ i $CC'$ tworzą kąt $60^\circ$ . Oznaczmy punkt ich przecięcia przez $T$ . Mamy więc równości kątów:

(rysunek 1). Z równości tych wynika, że punkt $T$ leży na każdym z trzech okręgów opisanych na trójkątach $ABC'$ , $BCA'$ , $CAB'$ . Oczywiście jest to ich jedyny punkt wspólny, bowiem okręgi te przecinają się - poza punktem $T$ - tylko parami, w trzech różnych punktach $A$ , $B$ , $C$ .

Udowodniliśmy więc, że okręgi opisane na trzech dorysowanych trójkątach równobocznych mają dokładnie jeden punkt wspólny $T$ (zwany jest on punktem Toricellego trójkąta $ABC$ ). Zauważmy, że przy takiej charakteryzacji punktu $T$ rola każdego z wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ jest taka sama, żaden nie jest wyróżniony. Wykazaliśmy ponadto, że odcinki $AA'$ i $CC'$ mają równą długość i przecinają się właśnie w punkcie $T$ .

Możemy powtórzyć to samo rozumowanie startując na przykład z pary odcinków $AA'$ , $BB'$ (jeden z nich nałoży się na drugi przy obrocie o kąt $60^\circ$ wokół punktu $C$ ). Otrzymamy równość $|AA'| = |BB'|$ oraz stwierdzimy, że punkt Toricellego $T$ jest punktem przecięcia także i tej pary odcinków.

Zatem wszystkie trzy odcinki $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ przecinają się w punkcie $T$ i mają równą długość.