XLI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Dowieść, że krawędzi sześcianu nie da się ponumerować liczbami od 1 do 12 tak, by suma numerów krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka była taka sama.

Czy można spełnić ten warunek numerując krawędzie dwunastoma różnymi liczbami ze zbioru $\{1,2,\ldots,13\}$ ?

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że istnieje sposób ponumerowania, o jakim mowa w pierwszym zdaniu. Każda krawędź przylega swymi dwoma końcami do dwóch wierzchołków. Podwojona suma numerów wszystkich krawędzi powinna więc być równa $8s$ , gdzie $s$ oznacza sumę numerów krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka (wartość wspólna dla wszystkich krawędzi sześcianu). Wynikałaby stąd równość $8s = 2(1 + \ldots +12) = 12 \cdot 13$ ; sprzeczność, bo $s$ powinno być liczbą całkowitą.

Jeśli natomiast wolno do numerowania użyć dowolnych dwunastu różnych liczb ze zbioru $\{1,2,\ldots,13\}$ , to uzyskanie równych sum przy wszystkich wierzchołkach jest możliwe, i to wieloma sposobami. Przykład realizacji ukazuje rysunek 3.