XLI OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Niech $M$ będzie dowolnym punktem czworościanu $ABCD$ . Oznaczmy pola ścian $BCD$ , $ACD$ , $ABD$ , $ABC$ odpowiednio przez $S_A$ , $S_B$ , $S_C$ , $S_D$ objętość zaś czworościanu przez $V$ . Udowodnić, że

$ S_A\cdot |MA| + S_B\cdot |MB| + S_C\cdot |MC| + S_D\cdot|MD| \geq 9V. $

Rozwiązanie

Czworościan $ABCD$ jest sumą czterech czworościanów o rozłącznych wnętrzach: $MBCD$ , $MACD$ , $MABD$ , $MABC$ (w przypadku, gdy punkt $M$ leży na brzegu $ABCD$ , niektóre z wymienionych czworościanów mogą degenerować się do trójkątów). Oznaczmy przez $d_A$ , $d_B$ , $d_C$ , $d_D$ odległości punktu $M$ od płaszczyzn ścian $BCD$ , $ACD$ , $ABD$ , $ABC$ . Objętości czterech wymienionych czworościanów wynoszą (odpowiednio):

$ V_A = \frac{1}{3} d_A \cdot S_A,\quad V_B = \frac{1}{3} d_B \cdot S_B,\quad V_C = \frac{1}{3} d_C \cdot S_C,\quad V_D = d_D \cdot S_D. $

Objętość czworościanu $ABCD$ można wyrazić w dowolnej z następujących czterech postaci:

$ V = \frac{1}{3}h_A \cdot S_A = \frac{1}{3}h_B \cdot S_B = \frac{1}{3}h_C \cdot S_C = \frac{1}{3}h_D \cdot S_D =, $

gdzie $h_A$ , $h_B$ , $h_C$ , $h_D$ są wysokościami czworościanu $ABCD$ opuszczonymi z odpowiednich wierzchołków. Wobec oczywistych nierówności

$ h_A \leq d_A + |M_A|,\ h_B \leq d_B + |M_B|,\ h_C \leq d_C + |M_C|,\ h_D \leq d_D + |M_D| $

dochodzimy do oszacowań

$ \begin{array}{ll} V \leq V_A + \frac{1}{3} S_A \cdot |MA|, & V \leq V_B + \frac{1}{3} S_B-|MB|,\\ V \leq V_C + \frac{1}{3} S_C \cdot |MC|, & V \leq V_D + \frac{1}{3} S_D-|MD|. \end{array} $