XLI OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych $n$ , dla których każda z liczb $n-1$ , $n$ , $n+1$ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Dla dowolnej liczby naturalnej $k$ przyjmijmy $n_k = (2k^2 + 1)^2$ . Dostajemy nieskończony, ściśle rosnący ciąg liczb naturalnych $n_1,n_2,n_3,\ldots$ , z których każda spełnia podany w zadaniu warunek:

$ \begin{split} n_k-1 & = (2k^2)^2 + (2k)^2,\\ n_k & = (2k^2 + 1)^2 + 0^2,\\ n_k + 1 = (2k^2 + 1)^2 + 1^2. \end{split} $