XLI OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Dla danej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyznaczyć liczby dodatnie $x_1,\ldots,x_n$ o sumie równej $1$ , dla których iloczyn

$ x_1^1\cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n $

osiąga wartość maksymalną.

Rozwiązanie

Niech $x_1,\ldots,x_n$ będą dowolnymi liczbami dodatnimi o sumie równej $1$ . Przepiszmy tę równość, jak następuje:

$ (1) \qquad x_1 + (\frac{x_2}{2} + \frac{x_2}{2}) + (\frac{x_3}{3}+\frac{x_3}{3} +\frac{x_3}{3}) + \ldots + (\frac{x_n}{n} + \ldots + \frac{x_n}{n})=1. $

Po otwarciu nawiasów, lewa strona (1) przybiera postać sumy $N$ składników, gdzie

$ N=1+2+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}. $

Średnia arytmetyczna tych $N$ liczb równa się $1/N$ i jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej:

$ 1/N \geq \left( x_1 \cdot \frac{x_2}{2} \cdot \frac{x_2}{2} \cdot \frac{x_3}{3} \cdot \frac{x_3}{3} \cdot \frac{x_3}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{x_n}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{x_n}{n} \right)^{1/N} == \left( \frac{x_1^2 \cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n}{1^1 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot n^n} \right)^{1/N}. $

Stąd

$ (2) \qquad x_1^1 \cdot x_2^2 \cdot \ldots \cdot x_n^n \leq \frac{1^1 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot n^n}{N^N}. $

Nierówność między średnią arytmetyczną oraz średnią geometryczną ( $N$ liczb) staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy liczby te są równe. Zatem w nierówności (2) znak równości ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z $N$ składników sumy (1) (bez nawiasów) równa się $1/N$ - czyli gdy

$ x_k = \frac{k}{N} = \frac{2k}{n(n+1)} \quad \textrm{dla} \ k=1, \ldots, n. $

Dla tych liczb iloczyn napisany po lewej stronie (2) osiąga swą wartość maksymalną.