LIX OM - I -Zadanie 6

Zawody matematyczne:

LIX OM, 2007-2008

Etap:

Wyznaczyć wszystkie takie wielomiany $W(x)$ o współczynnikach rzeczywistych, że dla każdej liczby
rzeczywistej $x$ spełniona jest równość

$ (1) \qquad W(x^2)\cdot W (x^3)=(W (x))^5. $

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy najpierw, że jedynymi wielomianami stałymi spełniającymi warunki zadania są $W(x) \equiv 0$ oraz
$W(x) \equiv 1$ . Przyjmijmy więc dalej, że wielomian $W(x)$ nie jest stały.

Jeżeli wielomian $W(x)$ jest postaci $W(x)=cx^n$ dla pewnej liczby rzeczywistej $c \neq 0$
i liczby całkowitej $n \geqslant 1$ , to w warunku (1) mamy

$ W(x^2)\cdot W(x^3)= c^2 x^{5n} =(W(x))^5 = c^5 x^{5n} , $

co implikuje $c^2=c^5$ i $c=1$ . Wobec tego wśród wielomianów rozważanej postaci tylko wielomiany
$W(x)= x$ dla $n \geqslant 1$ spełniają warunki zadania.

Pozostał do rozpatrzenia przypadek, gdy wielomian $W(x)$ jest sumą co najmniej dwóch niezerowych
jednomianów. W takim razie możemy napisać

$ W(x)= a_nx^n +a_lx^l +G(x), $

gdzie $n>l \geqslant 0$ , $a_n \neq 0$ , $a_l \neq 0$ , a wielomian $G(x)$ jest wielomianem zerowym albo ma stopień najwyżej $l -1$ . Zatem

$ \begin{split} W(x^2)\cdot W(x^3)&=(a_nx^{2n} +a_lx^{2l} +G(x^2))(a_nx^{3n} +a_lx^{3l} +G(x^3)) \\ &= a_n^2 x^{5n} + a_la_n x^{3n+2l} + a_la_n x^{2n+3l} + P(x), \end{split} $

gdzie $P(x)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej $2n+3l -1$ , oraz

$ (W(x))^5 =(a_nx^n +a_lx^l +G(x))^5 = a_n^5x^{5n} +5a_na_lx^{4n+l}+Q(x), $

gdzie $Q(x)$ jest wielomianem stopnia co najwyżej $3n +2l$ . Liczby $2n +3l$ i $3n+2l$
są mniejsze od $4n+l$ . Wobec tego współczynnik przy potędze $x^{4n+l}$ w wielomianie
$W(x^2)\cdot W(x^3)$ jest równy zeru, a w wielomianie $(W(x))^5$ wynosi on $5a_na_l \neq 0$ .
Doszliśmy więc do sprzeczności.

Sposób II

Tak jak w sposobie I rozpatrujemy najpierw przypadek, gdy wielomian $W(x)$ jest stały.
Otrzymujemy więc rozwiązania $W(x)\equiv 0$ i $W(x)\equiv 1$ ,a w dalszej części rozwiązania
przyjmujemy, że wielomian $W(x)$ nie jest stały.

Podstawiając $x = 0$ w zależności (1) otrzymujemy $(W(0))^2 =(W(0))^5$ . Zatem
$W(0)=0$ albo $W(0) = 1$ .

Przypuśćmy najpierw, że $W(0) = 1$ . Wielomian $W(x)-1$ nie jest stały i jego pierwiastkiem jest liczba $x=0$ . Wobec tego istnieją taka liczba całkowita dodatnia $k$ oraz taki wielomian $G(x)$ , że

$ W(x)=1+x^k \cdot G(x),\quad \text{przy czym } G(0) \neq 0. $

Korzystając ze wzoru dwumianowego obliczamy, że

$ \begin{split} W (x 2)\cdot W (x 3) &= (1+x^{2k}G(x^2))(1+x^{3k}G(x^3)) = 1+x^{2k}P(x), \\ (W(x))^5 &= (1+x^kG(x))^5 = 1+5x^kG(x)+x^{2k}Q(x), \end{split} $

gdzie $P(x), Q(x)$ są pewnymi wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Jeżeli więc równość (1) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , to

$ (2) \qquad x^{2k}(P(x)-Q(x)) = x^k \cdot G(x) $

dla wszystkich $x$ . Jednakże wielomian występujący po lewej stronie równości (2) jest podzielny przez
$x^{2k}$ , a wielomian po prawej stronie zawiera niezerowy współczynnik $G(0)$ przy potędze $x^k$ .
Otrzymaliśmy więc sprzeczność.

Pozostaje więc do rozpatrzenia przypadek $W(x) \neq 0$ , $W(0)=0$ . Wówczas możemy napisać

$ (3) \qquad W(x)= x^m \cdot G(x) $

dla pewnej liczby całkowitej dodatniej $m$ i wielomianu $G(x)$ spełniającego warunek
$G(0) \neq 0$ . Na mocy (1) i (3) mamy

$ x^{5m} \cdot G(x^2) \cdot G(x^3)= W (x^2)\cdot W(x^3)=(W(x))^5 = x^{5m} \cdot (G(x))^5 , $

zatem dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi równość

$ G(x^2) \cdot G(x^3)=(G(x))^5. $

Innymi słowy, wielomian $G(x)$ również spełnia warunki zadania. Ponieważ $G(0)\neq 0$ , więc
z poprzedniej części rozwiązania wnioskujemy, że $G(x) \equiv 1$ . Wobec tego $W(x)= x$ .

Pozostaje już tylko zauważyć, że każdy taki wielomian $W(x)$ spełnia warunki zadania.

Odpowiedź: $W(x) \equiv 0$ , $W(x) \equiv 1$ oraz $W (x)= x^n$ dla $n =1,2,3,\dots$ .