XLI OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Pięciokąt wypukły ma pole $S$ . Niech $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ , $S_5$ będą polami pięciu trójkątów odciętych przez przekątne pięciokąta (wierzchołkami każdego z tych trójkątów są trzy kolejne wierzchołki pięciokąta). Udowodnić, że suma pewnych czterech liczb $S_j$ przekracza $S$ .

Rozwiązanie

Niech $ABCDE$ będzie rozważanym pięciokątem. Ustalmy oznaczenia tak, by trójkąt $DEA$ miał minimalne pole (spośród pięciu trójkątów odciętych przez przekątne pięciokąta). Oznaczmy przez $P$ punkt przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ .

Weźmy pod uwagę trójkąty $EAB$ , $EAP$ , $EAD$ . Mają one wspólny bok $EA$ , pozostałe zaś wierzchołki leżą na jednej prostej, przy czym punkt $P$ leży między $B$ i $D$ (rysunek 4). Wobec tego pole trójkąta $EAP$ nie przekracza pola większego z trójkątów $EAB$ , $EAD$ . Ponieważ z założenia $\textrm{pole}(EAD) \leq \textrm{pole}(EAB)$ , zatem także

$ (1) \qquad \textrm{pole}(LAP) \leq \textrm{pole}(LAB). $

W podobny sposób (rozważając trójkąty $DEA$ , $DEP$ , $DEC$ ) wykazujemy, że

$ (2) \qquad \textrm{pole}(DEP) \leq \textrm{pole}(CDE). $

Odnotujmy ponadto oczywistą nierówność

$ (3) \qquad \textrm{pole}(PCD) < \textrm{pole}(BCD) $

(trójkąt $PCD$ jest częścią właściwą trójkąta $BCD$ ) oraz jeszcze bardziej oczywistą równość

$ (4) \qquad \textrm{pole}(ABC) = \textrm{pole}(ABC). $

Trójkąty, których pola występują po lewych stronach związków (1), (2), (3), (4), nie nakładają się na siebie i wypełnieją cały pięciokąt $ABCDE$ . Zatem dodając te związki stronami otrzymujemy nierówność

$ S = \textrm{pole}(ABCDE) < \textrm{pole}(EAB)+\textrm{pole}(ABC)+\textrm{pole}(BCD)+\textrm{pole}(CDE). $

Jest to teza zadania.