XLI OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $x$ , $y$ spełniające równanie

$<br /> (xy-l)^2 = (x + l)^2 + (y + l)^2.<br />$

Wprowadzamy pomocnicze niewiadome $u = x + 1$ , $v = y+1$ i przekształcamy dane równanie metodą przejść równoważnych:

$((u-1)(v-1)-1)^2 = u^2+v^2;$

$(uv-(u+v))^2 = (u+v)^2-2uv;$

$u^2v^2 -2uv(u+v) = -2uv;$

$uv(uv-2u-2v+2) = 0;$

$uv((u-2)(v-2)-2) = 0;$

$uv = 0 \ \textrm{lub} \ (u- 2)(v-2) = 2;$

$(x + 1)(y+1) = 0 \ \textrm{lub} \ (x-1)(y-1) = 2;$

$x - 1 \ \textrm{lub} \ y = -1 \ \textrm{lub} \ \{x,y\} = \{2,3\}.$

Tak więc ogólne rozwiązanie danego równania w liczbach całkowitych tworzą następujące pary $(x,y)$ :

$<br /> (2,3); \quad (3,2); \quad (z,-1);\quad (-1,z),<br />$

gdzie $z$ może być dowolną liczbą całkowitą.