XLI OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

W przestrzeni dany jest punkt $O$ oraz skończony zbiór wektorów $\overrightarrow{v_1},\ldots,\overrightarrow{v_n}$ . Rozważamy zbiór tych punktów $P$ , dla których wektor $\overrightarrow{OP}$ daje się przedstawić w postaci sumy $a_1 \overrightarrow{v_1} + \ldots + a_n\overrightarrow{v_n}$ o współczynnikach spełniających nierówności $0 \leq a_i \leq 1$ ( $i = 1, 2, \ldots, n$ ). Rozstrzygnąć, czy zbiór ten może być czworościanem.

Rozwiązanie

Wykażemy, że punkt $M$ będący końcem wektora

$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{v_1}+\ldots+\overrightarrow{v_n}) $

jest środkiem symetrii rozważanego zbioru $W$ .

Przypuśćmy bowiem, że $P \in W$ . Zatem wektor $\overrightarrow{OP}$ dopuszcza przedstawienie

$ (1) \qquad \overrightarrow{OP} = a_1 \overrightarrow{v_1} + \ldots + a_n \overrightarrow{v_n}, \quad 0 \leq a_i \leq 1 \ (i=1,\ldots,n). $

Niech $Q$ będzie końcem wektora

$ (2) \qquad \overrightarrow{OQ} = (1-a_1)\overrightarrow{v_1} + \ldots + (1-a_n)\overrightarrow{v_n}. $

Liczby $1-a_i$ także zawierają się między $0$ a $1$ , zatem $Q \in W$ . Ponadto zachodzi równość

$ \frac{1}{2} (\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{v_1} + \cdots + \frac{1}{2} \overrightarrow{v_n} = \overrightarrow{OM}m $

z której wynika, że punkt $M$ jest środkiem odcinka $PQ$ . Innymi słowy, $Q$ jest obrazem $P$ w symetrii środkowej względem punktu $M$ . (Uwaga: przedstawienie wektora $\overrightarrow{OP}$ w postaci (1) nie musi być jedyne; zatem i przedstawienie wektora $\overrightarrow{OQ}$ w postaci (2) może nie być jedyne; z uzyskanej przed chwilą konkluzji wynika wszelako, że sam punkt $Q$ jest wyznaczony przez $P$ jednoznacznie.)

Pokazaliśmy, że jeśli $P$ jest dowolnym punktem zbioru $W$ , to punkt $Q$ symetryczny do $P$ względem $M$ także należy do $W$ . To znaczy, że $M$ jest środkiem symetrii zbioru $W$ .

Czworościan nie ma środka symetrii. Zatem zbiór $W$ nie może być czworościanem.