XLI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

Dla każdej pary liczb naturalnych parzystych $k$ , $m$ wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające równanie

$ (\sin x)^k + (\cos x)^{-m} = (\cos x)^k + (\sin x)^{-m}. $

Rozwiązanie

Gdy $k = m = 0$ , równanie spełnione jest tożsamościowo.

Pomijając ten trywialny przypadek, tzn. zakładając, że co najmniej jedna z liczb $k$ , $m$ jest dodatnia, przepiszmy równanie w postaci

$ (1) \qquad (\sin x)^k-(\sin x)^{-m} = (\cos x)^k - (\cos x)^{-m} $

i weźmy pod uwagę funkcję

$ f(t) = t^k-t^{-m}, $

określoną dla $t \ne 0$ . W zbiorze liczb dodatnich funkcja $f$ jest ściśle rosnąca (bo funkcje $t \to t^k$ , $t \to -t^{-m}$ są niemalejące, a co najmniej jedna z nich jest ściśle rosnąca). Ponadto $f$ jest funkcją parzystą (w zbiorze liczb różnych od zera). Zatem równość