XLI OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

III

Udowodnić, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną większą od 2, a $x_1, x_2, \ldots , x_n$ są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to

$ \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2 x_3} + \frac{x_2^2}{x_2^2+x_3 x_4} + \ldots + \frac{x_n^2}{x_n^2+x_1 x_2} \leq n-1. $

Rozwiązanie

Przyjmijmy

$ a_k = \frac{x_k^2}{x_{k+1}x_{k+2}} \ \textrm{dla} \ k=1,2,\ldots,n; $

stosujemy numerację cykliczną $\bmod{n}$ ; to znaczy, przyjmujemy $x_{n+1} = x_1$ $x_{n+2} = x_2$ . Zauważmy, że

$ (1) \qquad a_1 a_2 \ldots a_n = 1. $

Oznaczmy przez $X$ wyrażenie po lewej stronie danej do udowodnienia nierówności. Przekształcamy:

$ \begin{split} X & = \sum_{k=1}^n \frac{x_k^2}{x_k^2 + x_{k+1}x_{k+2}} = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{a_k+1} = \\ & = \sum_{k=1}^n \left( 1-\frac{1}{a_k+1} \right) = n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k+1}. \end{split} $

Aby dowieść, że $X \leq n- 1$ , wystarczy więc pokazać, że

$ (2) \qquad \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k+1} \geq 1. $

Dysponujemy warunkiem (1). Udowodnimy przez indukcję, że dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 2$ oraz dla dowolnych liczb dodatnich $a_1,a_2,\ldots,a_n$ spełniających równość (1) zachodzi nierówność (2).

Gdy $n = 2$ , mamy dwie liczby $a_1$ i $a_2$ , ich iloczyn $a_1a_2 = 1$ . Lewa strona
(2) równa się

$ \frac{1}{a_1+1} + \frac{1}{a_2+1} = \frac{a_1+a_2+2}{(a_1+1)(a_2+1)}= \frac{a_1a_2+a_1+a_2+1}{(a_1+1)(a_2+1)} = 1, $

więc nierówność (2) zachodzi (i staje się równością).

Ustalmy $n \geq 2$ i załóżmy, że dla tej liczby naturalnej $n$ równość (1) implikuje nierówność (2). Chcemy udowodnić analogiczną implikację dla $n + 1$ . Niech więc dane będzie $n+1$ liczb dodatnich $a_1,a_2, \ldots, a_n, a_{n+1}$ , których iloczyn równa się $1$ :

$ a_1 a_2 \ldots a_n a_{n+1} = 1. $

Mamy wykazać, że

$ (3) \qquad \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{a_k+1} \geq 1. $

Spójrzmy na układ $n$ liczb dodatnich

$ a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}, (a_n a_{n+1}). $

Ich iloczyn równa się $1$ , a więc na mocy założenia indukcyjnego zachodzi nierówność (2) z wyrazem $a_n$ zastąpionym przez $a_n a_{n+1}$ :

$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k+1} + \frac{1}{a_n a_{n+1}+1} \geq 1. $

Aby stąd uzyskać tezę indukcyjną (3), wystarczy pokazać, że

$ (4) \qquad \frac{1}{a_n+1} + \frac{1}{a_{n+1}+1} \geq \frac{1}{a_na_{n+1}+1}. $

Pisząc $a$ , $b$ zamiast $a_n$ , $a_{n+1}$ przekształcamy różnicę między lewą i prawą stroną (4), jak następuje:

$ \begin{split} \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} & = \frac{(a+b+2)(ab+1) - (a+1)(b+1)}{(a+1)(b+1)(ab+1)} =\\ & = \frac{ab(a+b+1)+1}{(a+1)(b+1)(ab+1)} > 0. \end{split} $

To dowodzi słuszności nierówności (4), a tym samym i (3). Stąd, na mocy zasady indukcji, implikacja (1) $\Longrightarrow$ (2) zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej $n\geq 2$ .

W myśl uwag poprzedzających (2) kończy to dowód tezy zadania.