XLI OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

III

Wewnątrz kwadratu o boku długości 1 narysowano trójkąt, którego każdy bok ma długość nie mniejszą od 1. Dowieść, że środek kwadratu należy do trójkąta.

Rozwiązanie

Stosujemy dowód nie wprost.

Przypuśćmy, że środek $O$ danego kwadratu $ABCD$ nie należy do narysowanego trójkąta $A$ . Istnieje wówczas prosta $l$ przechodząca przez $O$ i taka, że trójkąt $A$ leży w całości po jednej stronie tej prostej (tzn. zawiera się w jednej z dwóch półpłaszczyzn otwartych wyznaczonych przez prostą $l$ , patrz: Uwaga).

Oznaczmy punkty przecięcia prostej $l$ z brzegiem kwadratu przez $A'$ i $C'$ ; możemy przyjąć (w razie potrzeby przesuwając cyklicznie oznaczenia wierzchołków kwadratu), że punkt $A'$ leży na boku $AB$ , a punkt $C$ - na boku $CD$ , przy czym $A' \ne B$ , $C' \ne D$ .

Poprowadźmy przez punkt $O$ prostą $m$ prostopadłą do $l$ . Przecina ona brzeg kwadratu w punktach $B'$ i $D'$ leżących odpowiednio na bokach $BC$ i $DA$ , przy czym $B' \ne C$ , $D'\ne A$ (rysunek 7).

Proste $l$ i $m$ dzielą kwadrat na cztery przystające figury. Trójkąt $A$ leży po jednej stronie prostej $l$ , a więc zawiera się w sumie dwóch spośród tych figur. Jedna z nich musi zawierać co najmniej dwa wierzchołki trójkąta $A$ , czyli końce odcinka o długości nie mniejszej od $1$ . Niech to będzie część kwadratu wycięta przez półproste $(OA')^\to$ i $(OB')^\to$ (takie założenie nie uszczupla ogólności rozważań).

W szczególnym przypadku, gdy proste $l$ i $m$ zawierają przekątne kwadratu $ABCD$ (tj. gdy $A = A'$ , $B = B'$ , $C = C'$ , $D = D'$ ), rozważana figura jest trójkątem $OAB$ . Jedynym odcinkiem długości $\geq 1$ zawartym w tym trójkącie jest jego przeciwprostokątna $AB$ . Znaczyłoby to, że odcinek $AB$ jest jednym z boków trójkąta $A$ - wbrew założeniu, że trójkąt $A$ leży wewnątrz kwadratu $ABCD$ .

W pozostałym przypadku ( $A \ne A'$ itd.) rozważana figura jest czworokątem $OA'BB'$ , w którym kąty przy wierzchołkach $O$ i $B$ są proste - można więc na nim opisać koło. Jego średnicą jest odcinek $A'B'$ o długości mniejszej od $1$ (bo $A'B'C'D'$ jest kwadratem wpisanym w $ABCD$ , nie identycznym z $ABCD$ ). Wobec tego figura (czworokąt) $OA'BB'$ nie może zawierać pary punktów odległych co najmniej o $1$ - wbrew temu, co stwierdziliśmy chwilę wcześniej.

Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

Uwaga. W rozwiązaniu skorzystaliśmy z faktu, że przez dowolny punkt $O$ leżący poza danym trójkątem $\Delta$ można poprowadzić taką prostą $Z$ , że trójkąt $\Delta$ leży w całości po jednej jej strome. Może warto podać ścisłe uzasadnienie tego faktu.

Trójkąt jest częścią wspólną trzech półpłaszczyzn domkniętych, których krawędziami są proste zawierające jego boki. Skoro punkt $O$ nie należy do danego trójkąta, to nie należy do co najmniej jednej z tych półpłaszczyzn. Niech $l'$ będzie jej krawędzią (jeśli są dwie takie półpłaszczyzny, wybieramy jedną z nich, i jej krawędź oznaczamy przez $l'$ ). Prosta $Z$ , równoległa do $V$ i przechodząca przez $O$ , ma żądaną własność.