XLI OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLI OM, 1989-1990

Etap:

III

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $(a_n)$ , że $\lim_{n\to \infty} \frac{n}{a_n} = 0$ .

Udowodnić, że istnieje taka liczba $k$ , dla której między liczbami $a_1 + a_2 + \ldots + a_k$ oraz $a_1 + a_2 + \ldots + a_k + a_{k+1}$ znajduje się co najmniej 1990 kwadratów liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Oznaczmy:

$ s_n = a1+a_2 + ldots + a_n, \quad r_n = \sqrt{s_{n+1}} - \sqrt{s_n} > 0. $

Oszacujemy z dołu wyrazy ciągu ( $r_n$ ). Dla $n > i$ mamy

$ \begin{split} (1) \qquad r_{n-1} = \sqrt{s_n} - \sqrt{s_{n-1}} & = \frac{s_n - s_{n-1}}{\sqrt{s_n} + \sqrt{s_{n-1}}} = \\ & = \frac{a_n}{\sqrt{s_n} + \sqrt{s_{n-1}}} > \frac{a_n}{2\sqrt{s_n}}. \end{split} $

Z założenia zadania wynika, że ciąg ( $a_n/n$ ) dąży do nieskończoności; tym bardziej i sam ciąg ( $a_n$ ) dąży do nieskończoności. Zatem dla nieskończenie wielu $n$ zachodzi nierówność

$ (2) \qquad a_n \geq \max \{a_1,a_2,\ldots,a_n\}. $

Niech $n$ będzie jednym z tych wskaźników, dla których (2) zachodzi. Mamy wówczas, zgodnie z (1),

$ \left( \frac{1}{2r_{n-1}} \right)^2 < \frac{s_n}{a_n^2} = \frac{1}{a_n} \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{a_n} \leq \frac{1}{a_n} \sum_{k=1}^n 1 = \frac{n}{a_n}. $

Nierówność ta zachodzi dla nieskończenie wielu $n$ . Ponieważ zaś ciąg ( $n/a_n$ ) dąży do zera, dostajemy wniosek, że pewien podciąg ciągu ( $r_n$ ) dąży do nieskończoności.

Istnieje wobec tego taki numer $k$ , że $r_k> 1990$ . Znaczy to, że długość przedziału $(\sqrt{s_k};\sqrt{s_{k+1}})$ przekracza $1990$ . W takim przedziale można znaleźć $1990$ liczb naturalnych. Ich kwadraty leżą w przedziale $(s_k;s_{k+1})$ . Znalezienie przedziału tej postaci i o tej własności było właśnie treścią zadania.